Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 118

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 146 >> Следующая


у

D — подмножество Х\ т — первый момент выхода из D: т = min{n: ln<?D}.

Задача 1. Пусть ф(х)— числовая функция на X\D; положим «(*) = Мхф(Ет) (предполагается, что математическое ожидание существует; для тех элементарных событий, для которых т = оо, т. е. не

выходит из D, вместо ф(|т) берем 0). Докажите, что

функция и удовлетворяет уравнению

(Р — Е)и(х) = 0, x<=D, (1)

и «граничным условиям»

и (х) = ф (х), (2)

Если X, например, — решетка на плоскости, причем переходы в цепи возможны только в ближайшие соседние точки, то функция и(х) в D действительно зависит от значений <р(х) в точках «границы» D, если в нее включать точки, не принадлежащие D, но соседние с какими-либо точками D (рис. 31).

Уравнению (1) удовлетворяет, в частности, вероятность того, что в момент выхода из D цепь попадает в определенное множество Г е X\D: ведь функция

и (х) = Рх t= Г} представляется в виде Мдг(?т).

В случае, когда множество D состоит из конечного числа элементов х\, ..., хп, задача (1) — (2) сводится к системе п уравнений (1) с п неизвестными и(х\), ...

¦ ¦¦, и(хп):

П

И (Xi) — Z Р ( 1, Xt, Xj) и (Xj) =

/=1

= Z p(l, Xi, x)q>(x), i=l, • • •, п. (3)

х е X \ D

Решение задачи (1) — (2) (или системы (3)) существует для любой ограниченной функции ср, но может быть не единственно. Это будет в случае, когда может навсегда остаться в множестве D.

Задача 2. Докажите, что функция и (х) = Рх {т = оо} удовлетворяет уравнению (1) в D и дополнительному условию и (х) =0 при х е X\D.

\

„ граница."В Рис. 31

11*

323
В случае бесконечного D решение может быть не единственно и в случае Р*{т = оо} = 0. Пример: симметричное случайное блуждание по целочисленным точкам прямой (р(1, i, i -j- 1) = р(1, i, i—l)=l/2, остальные p(l,i,j)—нули); D~{ 1,2, ...}; u{i) = i при

i > 0, u(i) = 0 при i ^ 0. Здесь (P — E)u(i) = 0 при

i e D\ граничное условие — нулевое.

Задача 3. Пусть функция ср неотрицательна. Докажите, что и0 (х) = Мхф (|т) — наименьшее неотрицательное решение задачи (1) — (2).

т-1

2. Теперь рассмотрим функцию y(*) = Mjc? &(?г)-

г=о

Задача 4. Докажите, что функция v — решение задачи

(Р — Е) v (х) = — g (х), x^D; (4)

v (х) = 0, х е X \ D (5)

Частный случай g = 1 дает нам уравнение для математического ожидания времени выхода т(х) = = Мдлг: (Р — Е)т(х) — — 1, хеО (если М^т < оо).

Задача 5. Если D конечно и Р*{т<°°} = 1 для всех х е D, то Мхх < оо. Докажите.

Задача 6. Найдите математическое ожидание времени выхода из D= {1, ..., п—1} для симметричного случайного блуждания на прямой.

Задача 7. Докажите, что т (х) = Ыхх — наименьшее неотрицательное решение уравнения (Р — E)v(x) =—1, х е D (среди решений со всевозможными неотрицательными значениями вне D).

Задача 8. Найдите математическое ожидание времени выхода из D = {1, 2, ... } для несимметричного одномерного случайного блуждания (р(1, ?, i + 1) =р, р(1, i, i—1) =q, р + q = 1).

3. Для первоначального ознакомления с вопросом о связи между марковскими процессами и уравнениями данных нами задач достаточно; следующая задача не обязательная.

Задача 9*. Выведите уравнение для функции

т -1 п--1

z (х) = Мх Yj 8 (In) Ц q (li).

n=0 i = 0

§ 13.2. Случай решений, допускающих гладкое продолжение

0. В случае непрерывного времени и непрерывного фазового пространства мы уже не можем брать множество D произвольным, а должны ограничиться каким-нибудь более или менее узким классом множеств.

324
Мы будем рассматривать замкнутые множества D, а затем еще далее сузим этот класс. Моментом (первого) выхода процесса из D будем называть т = = inf{i': *). В случае диффузионного процесса

min^: h <ф. D) не достигается: в момент т процесс находится еще в D, а именно на границе dD этого множества. Мы установили (§ 6.1, задача 4), что момент первого выхода из замкнутого множества будет марковским моментом относительно семейства ст-алгебр для любого

процесса g* с непрерывными справа траекториями.

Сделаем общий чертеж для всего этого па- Рис. 32

раграфа (рис. 32).

1. Мы уже понимаем, что стоит прежде всего заняться вопросом о конечности т.

Задача 1. Пусть (?(, Рх) — марковское семейство, и пусть существуют константы Т и б > 0 такие, что Рх {т < Т} > 6 для всех х е D. Тогда для всех х

-6)п, (1)

п = О, 1, 2, ..., и Мхт < Г/б.

Задача 2*. Пусть (?<, Р*) — феллеровское марковское семейство с непрерывными справа траекториями. Если D — компакт и Рх {т < °°} > 0 для всех х е D, то выполняются условия задачи 1, и Мхт конечно и ограничено.
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed