Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 5. Докажите, что любая функция /е е СЮ, принадлежит DA и Af = Lf.
Задача 6. В § 11.2, п. 26) мы нашли производящий опе-
-f- \ wsds I. Найдите его по-другому, пользуясь теоремой 4.
Задача 7. Пользуясь результатом задачи 4 предыдущего параграфа, докажите, что построенный в п. 2 диффузионный процесс— фелеровский (а значит, и строго марковский).
f(lt(x\ со)) = f(l0(x; со)) +
+ jj @ (ls(x\ со)) dws + jj L/ (ls(x\ со)) ds. (10)
о
о
м f (It (х; со)) = f(x) + M\Lf (Is (х; со)) ds.
0
о
или
t
Ptf(x) = f(x) + \psLf(x)ds. (И)
о
ратор двумерного диффузионного процесса
о
320
4. Доказательства теорем 1—4 можно перенести на случай, когда коэффициенты не удовлетворяют условию Липшица, лишь бы имела место теорема существования и единственности решения стохастического уравнения и существовал измеримый вариант ?/(*; со) такого решения.
Можно доказать (см. Дуб (1956, гл. VI, теорема 3.3)), что любой диффузионный процесс можно задать с помощью стохастических уравнений. Определяются стохастические интегралы отно-
t
сительно мартингалов; полагаем ^ ^ 6 i\s) ds и строим
о
t
процесс wt = ^ а Ц3) 1 d%s. То, что это винеровский процесс,
о
доказывается с помощью следующего результата: если аи — процесс с непрерывными траекториями, wt и w2t — t — мартингалы, то Wt — винеровский процесс.
Задача 8*. При помощи какого стохастического уравнения можно задать гауссовский процесс Z(t), 0 t < 1, с нулевым средним и корреляционной функцией t /\ s — ts?
Приведенные результаты непосредственно здесь не применимы, потому что процесс неоднороден по времени.
5. Мы видели (задача 15 § 5.3), что при помощи стохастических интегралов выражается плотность распределения wt-\-<f(t) относительно распределения винеровского процесса. Аналогичная формула имеет место для плотности распределения одного диффузионного процесса на конечном отрезке времени относительно распределения другого диффузионного процесса, отличающегося от него только сносом.
Для простоты ограничимся одномерным случаем. Пусть \t — решение стохастического уравнения = a(\t)dwt + b(?,t)dt с начальным условием ?,0 = х; ^ — решение уравнения d\t = = a (l't) dwt + b' (gj) dt, = х.Пусть а(*) ф 0. Обозначим через ц распределение в пространстве (г1^ соответствующее случайному процессу 0 ^ t ^ Т, через ц'—распределение случайного процесса \,t, 0 t ^ Т. Тогда плотность распределения у.' относительно ц задается формулой
(к)=«р {[ о ih)~l (ь' ih) - ь №,)) -
т Ч
-Щ^г2(6'[•
О j
(См. И. В. Г и р с а н о в. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры, Теория вероятностей и ее применения.— 1960. — Т. 5, № 3. — С. 314—330. Существенный пункт доказательства — проверка того, что математическое ожидание выписанного выражения равно единице; ср. с задачей 4* § 3.)
11 А. Д. Вентцель
321
Глава 13
СВЯЗЬ ДИФФУЗИЙ С УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Мы уже знаем, что диффузии связаны с задачей Коши для уравнений в частных производных параболического типа: решением этой задачи являются, например, функции вида
t
v(t, *) = М*$ g(ls)ds,
О
w (t, х) = М* ехр | ^ с (У ds j f (У
(см. § 10.3, а также § 11.2). В этой главе мы будем говорить о связи диффузий с задачей Дирихле для уравнений эллиптического типа: решением этой задачи оказываются функции типа и (х) = Мхф (У или т(х) = Мхт, где т — первый момент выхода процесса из области. В одномерном случае эллиптические уравнения превращаются в обыкновенные уравнения второго порядка, но для них рассматриваются не задачи с начальными условиями, а краевые задачи. В случае вырождения диффузии, т. е. не строго положительно определенной матрицы диффузии (a‘i(x)), вместо эллиптических уравнений получаются параболические; часть результатов может быть отнесена к ним.
Сначала мы рассмотрим уравнения для функций, связанных с моментом выхода из области, в случае дискретных цепей Маркова; это нам поможет ознакомиться с возникающими проблемами на более простом материале.
§ 13.1. Уравнения, связанные с дискретными цепями Маркова
1. Пусть (У Рд.)— цепь Маркова на конечном или счетном пространстве Х\ через Р будем обозначать оператор Р1, связанный с вероятностями перехода за
322
один шаг: Pf (х) = М J (У = ? р (1, х, у) f (у). Пусть
