Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
lh(x-, со)-*- ? °(kHin(x’a))[wik+i)h,n-wkh,n\~
k = 0
-Еь(imM- «0)4
*=0
Эта функция измерима по х; при п-+оо она стремится к нулю (потому что it(x;a)—решение (3)). Функция под знаком математического ожидания в
(5) получается из такой же функции в (6) заменой со на cpsco и ^ на ?s(;c;co) (потому что в обе формулы входят только приращения винеровского процесса). В силу формулы (2) математическое ожидание в левой части (5) равно ММЛ, \s(x’> ©)). Чтобы вывести из сходимости к нулю 8п сходимость к нулю Мб„, достаточно установить, что 8„(Л, |s(x; со)) мажорируются интегрируемой случайной величиной.
Задача 3. Докажите, что 6„(h, х) ^ С (Л) [1 + |дс|2] при всех п, где С (Л) < оо.
(6)
317
Значит, бn(h, ls{x; со)) < С (Л) [1 + | |s(*; со) |2],
M||s(jc; со)|2<оо, поэтому Мбn(h, ls(x; со))->-0 при п —^ оо. Формула (5) доказана, а с ней и вся теорема.
Теперь определим функцию P(t, х, Г) = = Р{g/(Jt; со)е Г}. Эта функция измерима по х и является вероятностной мерой как функция Г <^38г', при t = 0 эта мера сосредоточена в точке х.
Теорема 2. При любых t, h, х и Г е $г почти наверное
Р {%+h (jc; со) е= Г | Tt} = Р (h, lt (дс; со), Г). (7)
Доказательство. В силу теоремы 1 в левой части мы можем заменить %t+h(x; со) на ?,н(Ъ(х; со); ср^со), а всю условную вероятность — на условное математическое ожидание индикатора %г от этой случайной величины. Применяя формулу (1), получаем
(7).
Мы уже получили семейство марковских процессов с общей переходной функцией, причем мы можем выпустить наши случайные процессы из любой точки х. Чтобы придать построенному нами математическому объекту форму марковского семейства, поступим следующим образом. Возьмем в качестве нового пространства элементарных событий пространство ?2' = /?гХЙ с элементами со' = (л:;сй); траектории ?,(о/) = ?<(*; со), О, у нас уже есть. Определим стандартным образом ст-алгебры ^”>о = ^rjf, и = s<t в ?У. Для подмножества Л S X й, измеримого относительно положим
Р*(Л) = Р{со: (*; со)е А}. (8)
Вероятность (8) определена для любого А е так как Ах = {со: (х; со) е А} е 9~. Действительно, это выполнено для А = {со': ?, (со')еГ}: ведь {со: (х; со) е Л)= = {со: ?, (х; со) е Г) е $Ft s . Отсюда вытекает также, что Ax^&~t для Ле
В пространстве ?У можно определить операторы сдвига 0S, 0; для этого достаточно положить
9sco/ = 0s(x; co) = (is(x; со); ф5со) е Q'. Действительно, It (0S®O = It (?Л*; “); Ф*ю) = (x; со) = Is+tia'). Правда,
это выполняется при каждом х лишь с вероятностью 1 при всех t ^ 0. Чтобы справиться с этим, дополним пространство Q' достаточно большим множеством элементов со' произвольной природы и определим для них
318
траектории !<(m/) так, чтобы траекторией могла быть любая непрерывная функция; множеству всех добавленных элементарных событий припишем р*-вероят-ность 0 при всех х.
Теорема 3. Пара (?*, Рх) — марковское семейство с переходной функцией P(t, х, Г).
Доказательство. Нужно проверить, что
Р,{Б(+*еГ|^</} = Р(л, б>'). г)
почти наверное для t,h^ 0, x^Rr, Ге^г; иначе говоря, что для любого А е
Рх (А Г) {lt+h е Г}) = М Ла («О Р (Л, It («О, Г). (9)
С учетом определения (8) можно переписать (9) в виде
P(Ax[\{lt+h{x\ ш)еГ}) = Мхл>)/>(Л, lt{x- со), Г).
Это равенство вытекает из Ах е t и формулы (7).
3. Теперь установим, что построенное марковское семейство — диффузия, и найдем ее производящий оператор. Траектории непрерывны, потому что это решение стохастического уравнения. Обозначим полугруппу операторов, связанную с ?*, через Р1, а инфинитезимальный оператор — через А.
Теорема 4. Любая функция f е принадлежит области определения Da инфинитезимального оператора, и для таких функций
АЦх) = Lf M = a" (х) + ? Ь‘ (х) (х),
if i где a‘i (я) = ? o‘k (х) o'k (л:) (в матричной форме: (а‘‘ (*))=
= ст(^)ст* (х)).
Доказательство. Применим формулу Ито к f(lt(x\ со)):
№)*»!+
L i i j
&)]<“¦
Обозначим для краткости множитель перед dw\ через @/(?<(*; со)); введем вектор @ = (@ь @г) (@—
319
буква «эс» готическое прописное). Что касается множителя при dt, то он равен Lf(%,t(x\ <*>)), где L — введенный нами дифференциальный оператор. Соотношение для стохастических дифференциалов означает по определению, что
Здесь ?о(*; со) = д:. Возьмем математическое ожидание от обеих частей; математическое ожидание стохастического интеграла равно нулю, поэтому
Перепишем эту формулу, пользуясь математическими ожиданиями М* и изменяя порядок интегрирования:
Задача 4. Докажите, что любая функция / е е Cg>H принадлежит пространству В0 сильной непрерывности полугруппы.
Так как пространство В0 замкнуто, то В0 содержит замыкание С^н; в частности, В0 ^ Сфин.
