Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 12.5. Диффузии, задаваемые стохастическими уравнениями
1. Пусть wt = (до|, . .., wrt) — r-мерный винеровский процесс, выходящий из нуля. Основное вероятностное пространство будем обозначать (Q, ?Г, Р);
пусть а-алгебра SF порождается винеровским процессом: о- Положим @~t = @~ws,s^t\ обозначения ^>0, зарезервируем для а-алгебр того
процесса, который мы построим при помощи стохастических уравнений.
Предположим, что каждому со е ?2 и h ^ 0 соответствует фнсо е Q такое, что ay*(cphco) = wt+h(a>) —
— wn{а») при 0 (рис. 30); это выполнено, например, если в качестве Й рассматривается пространство
314
всех непрерывных функций, выходящих из нуля. Так же, как для операторов 0h, определяются операторы Ф~', действующие на события, и для случайной величины т] определяется фат^ (со) = г] (ф^со). Легко видеть, что
^„еГ«} =
= {ш(]+4-»/.е Гь ..., wtn+k — Wk<^Tny,
поэтому операторы ф^1, сохраняют измеримость относительно ст-алгебры а события и случайные величины, измеримые относительно STt, переходят в ST/+й-измеримые. Так как винеровский процесс имеет независимые приращения, получаем, что ф^М, независимо от любого события из ст-алгебры <; соответственно для любой случайной величины т), измеримой относительно ф/t] независимо от ст-алгебры t.
Задача 1. Пусть f(x,co)—неотрицательная функция на RrX.Q, измеримая относительно по-
ложим F (х) = Щ (х, со). Тогда для любой ^-измеримой случайной величины т] со значениями в (Rr, 38r) почти наверное
М [/ (л (со), ф^со) \ &~t] = F (т)). (1)
Отсюда, в частности, получаем
М/(т), Ф^) = М/-(т1). (2)
2. Теперь рассмотрим r-мерное стохастическое уравнение
= сг (lt) dwt + b (?() dt (3)
с коэффициентами ст (я) = (crj (х)), b(x) = (bl(x), ... ..., br (х)), удовлетворяющими условию Липшица.
Построение диффузионного процесса при помощи стохастических уравнений мы разобьем на несколько теорем.
Теорема 1. Пусть lt(x\(xi) — решение уравнения
(3) с начальным условием х, построенное в теореме 3 § 12.4. Тогда при любых s,h^0, ie^r почти наверное ls+h {х\ со) = 1н (is (х;со); ф*со).
Доказательство. В силу единственности решения стохастического уравнения (теорема 2 § 12.4) достаточно показать, что случайная функция rif(co) = = ?f_s(?s(*; со); фхш) удовлетворяет при t^s уравне-
315
нию (3); тому же уравнению и с тем же начальным условием 'П^(со) = ls(x; со) удовлетворяет ?<(*;со)( t ^ s.
Требуется доказать, что почти наверное
s+h s + h
%+ft (со) = и) + \ а ("Пи) dwu + ^ b(r\u)du. (4)
5 S
Прежде всего нужно доказать, что стохастический интеграл здесь определен. Предсказуемость случайной функции цa, u> s, а значит, и о(ци), Ь(ци) обеспечивается свойствами измеримости |*(л:;со) и оператора ф5. Далее нужно доказать, что ^ s + h, принадлежит L2 ((s, s + h] X ^) • Для этого достаточно доказать интегрируемость в квадрате по (s, s -(- h\ X векторной функции т]ы. Мы докажем больше: что ци непрерывно в среднем квадратическом.
Для u, v <= [s, s + Л], u^.v положим f(x, со) = = |?o-s(*; to) — (л:; со) I2, F(x) = Mf(x, со). Это ма-
тематическое ожидание не превосходит
V— S
2Yj \ МК(М*: со))]2Л +
if u-s
v — s
+ 2? $ ЩЬЧЫх-, со))]2 Л (и -«)<
i u-s
^(v-u)-2(r2 + rh)K2[l + max M I lt (*; co)|2]<
<(и-ы)-4(л2 + л/г)/С2[1 +UI2]X
X [1 + (K/L)2exp {4L2 [r2h + rh2]}]
(последнее неравенство в силу задачи 4 § 12.4). Согласно (2),
М | I2 =
= со); <ps(o) — |„_ЛМ*; со); ф*(о)|2 =
= М/(?Л*; со), ф^со) == М/7(gs(л:; со))<
< (v — и) ¦ const • М [ 1 + | (х; со) |2] <
^(и — и) ¦ const' • [1 +1 х |2].
Итак, г\и, а в силу условия Липшица и ст‘. (т]и). Ъ1 (t]u) непрерывны в среднем квадратическом; стохастиче-
316
ский интеграл в (4) имеет смысл. Согласно задаче 5 § 12.1 стохастический интеграл в этом случае будет пределом в среднем квадратическом интегральных сумм. Для не стохастического интеграла это еще проще:
Задача 2. Докажите, что s+h
k =0
Таким образом, (4) сводится к тому, что
М
I s + ft
п — 1
=м
VmM —М*; ®) —
^ (^Is + fcft/re ) [^s + (fe + l) ft/re +
k = 0
n — I
-2>(ч.««.)-тГ-° (5)
k=0
при n->-oo. Чтобы доказать (5), введем следующую функцию:
МЛ, х) =
П— I
