Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 114

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 146 >> Следующая


ij s

t

t t

S S

t

< Z \M ibi (g« о -ы (w du v ~ -* °-

i s

Получаем

’/ i It = Л + $ cr (lu) dwu + ^ b (lu) du.

s s

Теорема доказана.

Задача 2. Докажите оценку:

М|?г|2<2М[1 + |г,|2]Х

X [1 + (K/L)2 ехр {4Z.2 [г2 (/ - s) + г (/ - s)2]}].

2. Теорема 2. Если выполнено условие (4), то решение уравнения (1) с начальным условием is = ,n единственно с точностью до эквивалентности.

Доказательство. Сначала докажем, что если lt и ?* — решения (1), gs = g' = ri, и М|?,|2, М||'г'|2 ограничены на любом конечном отрезке, то при t^s

311
почти наверное = Имеем

t t

i: -1>=И" ю -" (s-)i &) ~b (E«)i d“'

м!=;-г,г<2/.=(,-ьг(/ <))^M|r е,р.*!,

М|^-^|2<^шах;М|^-^|2Х

Х(212[л2(/-5) + л(^-5)2])7«!.

Так как п произвольно, получаем М | — ^|2 = 0.

Теперь пусть t^s, —произвольные реше-

ния (1), ?5 = ?' = т]. Введем марковские моменты %N — = min^e[s, оо): | ^ | + | ^ | = N}-, из непрерывности реализаций вытекает, что почти наверное Тд,—>оо

при N^-oo. Имеем почти наверное

t t

lt Л XN = л + S ff (У XN («) dwu + S b (gu) x< %N (u) du,

s s

t t

% А г* = ^ + S ff &) (“) dwu + S b (l’a) x<XN (u) du.

s s

Задача 3. Докажите, что при всех N, п

м I ^ A xN - h A xN f <(2L2 [г2 (f - S) + A (f - *)2ГМ

выведите отсюда, что %t = \t почти наверное.

Задача 4. Пусть %t — решение (1) с начальным условием ?5 = т], Hj — с начальным условием = т] . Докажите, что

М | %t — lt j2 < ЗМ | V — г) |2 ехр {3L2 [г2 (t — s) + г (t — s)2]}.

3. Теорема 3. Пусть выполнено условие (4). Тогда существует функция ?г(*; ш) от t е [0, .оо), х е е.^г, иеЙ со значениями в Rr такая, что

а) функция Z,t(x;a) на множестве ^'"XIO, оо)Х?2 измерима по (*,/, ш) относительно а-алгебры ^?ГХ X Z?red\

б) при фиксированном х ?г(лг, (о) , О, является решением уравнения (1) с начальным условием go (*; (о) — х.

312
Доказательство. То, что решение уравнения (1) с начальным условием ?о = * существует, нам уже известно; нужно только доказать, что решение можно выбрать определенным регулярным, измеримым образом. Для этого достаточно проследить, чтобы все предельные переходы, осуществляемые при доказательстве, проделывались каким-то одним, регулярным способом.

Часть этой работы мы уже проделали в § 12.2 (теорема 2). Применим эту теорему к нашим последовательным приближениям.

Нулевое приближение Ц0){х\ со) = х обладает нужными свойствами измеримости. Если Цп)(х-, со) обладает этими свойствами, то они переходят к ст‘ (1[п)(х; со)) и b1 (1\п\х; со)). Условие

М | а) (?<"> (*; со)) - а} (*; со)) |2 < К (х, Т) \ t - s |

при x^Rr, s, t^T вытекает из условия Липшица: это математическое ожидание не превосходит

L2М| ?</»(*; co)-^)(.v; со)|2< t

<2L2? J М [а} (?<„"-'>(*; со))fdu +

ij s t

+ 2L2Z S М[Ь1(1^"{х\ Сo))]2d«(/-s)<

i s

< 2L2 [л2 + лГ] К2 П + шах M I l(^l){x\ со) |21 (t — s)

L 0<н<Г 1 1 J

(считаем s ^ t\ при ti = 0 эта выкладка не нужна). Из теоремы 2 § 12.2 вытекает, что существует вариант стохастического интеграла t

\ or (w (х\ со)) dwu,

о

обладающий нужными свойствами измеримости. Измеримость относительно &r X &red лебегова интеграла

t

\b<$?{x\*>))du

О

313
вытекает из его непрерывности по верхнему пределу и измеримости функции под знаком интеграла. Итак,

t t

(*; со) = х + jj а (?<"> (*; со)) dwu + jj Ь (?<"> (х; со)) du

о о

обладает нужными свойствами измеримости.

Полагая lt(x; со) = lim Qtn)(x; со), если этот предел

П-> оо

существует, и, скажем, ?,t (х~, ш) = х в противном случае, получаем искомый вариант решения стохастического уравнения.

4. Замечания. Метод последовательных приближений — не единственный метод, применимый к стохастическим уравнениям; результаты, касающиеся существования, единственности, оценок решений, можно получать другими методами, при других предположениях относительно коэффициентов.

Полученные результаты без изменений переносятся на случай, когда размерности винеровского процесса wt и решения не совпадают (матрица ctJ- в этом случае не квадратная).
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed