Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ij s
t
t t
S S
t
< Z \M ibi (g« о -ы (w du v ~ -* °-
i s
Получаем
’/ i It = Л + $ cr (lu) dwu + ^ b (lu) du.
s s
Теорема доказана.
Задача 2. Докажите оценку:
М|?г|2<2М[1 + |г,|2]Х
X [1 + (K/L)2 ехр {4Z.2 [г2 (/ - s) + г (/ - s)2]}].
2. Теорема 2. Если выполнено условие (4), то решение уравнения (1) с начальным условием is = ,n единственно с точностью до эквивалентности.
Доказательство. Сначала докажем, что если lt и ?* — решения (1), gs = g' = ri, и М|?,|2, М||'г'|2 ограничены на любом конечном отрезке, то при t^s
311
почти наверное = Имеем
t t
i: -1>=И" ю -" (s-)i &) ~b (E«)i d“'
м!=;-г,г<2/.=(,-ьг(/ <))^M|r е,р.*!,
М|^-^|2<^шах;М|^-^|2Х
Х(212[л2(/-5) + л(^-5)2])7«!.
Так как п произвольно, получаем М | — ^|2 = 0.
Теперь пусть t^s, —произвольные реше-
ния (1), ?5 = ?' = т]. Введем марковские моменты %N — = min^e[s, оо): | ^ | + | ^ | = N}-, из непрерывности реализаций вытекает, что почти наверное Тд,—>оо
при N^-oo. Имеем почти наверное
t t
lt Л XN = л + S ff (У XN («) dwu + S b (gu) x< %N (u) du,
s s
t t
% А г* = ^ + S ff &) (“) dwu + S b (l’a) x<XN (u) du.
s s
Задача 3. Докажите, что при всех N, п
м I ^ A xN - h A xN f <(2L2 [г2 (f - S) + A (f - *)2ГМ
выведите отсюда, что %t = \t почти наверное.
Задача 4. Пусть %t — решение (1) с начальным условием ?5 = т], Hj — с начальным условием = т] . Докажите, что
М | %t — lt j2 < ЗМ | V — г) |2 ехр {3L2 [г2 (t — s) + г (t — s)2]}.
3. Теорема 3. Пусть выполнено условие (4). Тогда существует функция ?г(*; ш) от t е [0, .оо), х е е.^г, иеЙ со значениями в Rr такая, что
а) функция Z,t(x;a) на множестве ^'"XIO, оо)Х?2 измерима по (*,/, ш) относительно а-алгебры ^?ГХ X Z?red\
б) при фиксированном х ?г(лг, (о) , О, является решением уравнения (1) с начальным условием go (*; (о) — х.
312
Доказательство. То, что решение уравнения (1) с начальным условием ?о = * существует, нам уже известно; нужно только доказать, что решение можно выбрать определенным регулярным, измеримым образом. Для этого достаточно проследить, чтобы все предельные переходы, осуществляемые при доказательстве, проделывались каким-то одним, регулярным способом.
Часть этой работы мы уже проделали в § 12.2 (теорема 2). Применим эту теорему к нашим последовательным приближениям.
Нулевое приближение Ц0){х\ со) = х обладает нужными свойствами измеримости. Если Цп)(х-, со) обладает этими свойствами, то они переходят к ст‘ (1[п)(х; со)) и b1 (1\п\х; со)). Условие
М | а) (?<"> (*; со)) - а} (*; со)) |2 < К (х, Т) \ t - s |
при x^Rr, s, t^T вытекает из условия Липшица: это математическое ожидание не превосходит
L2М| ?</»(*; co)-^)(.v; со)|2< t
<2L2? J М [а} (?<„"-'>(*; со))fdu +
ij s t
+ 2L2Z S М[Ь1(1^"{х\ Сo))]2d«(/-s)<
i s
< 2L2 [л2 + лГ] К2 П + шах M I l(^l){x\ со) |21 (t — s)
L 0<н<Г 1 1 J
(считаем s ^ t\ при ti = 0 эта выкладка не нужна). Из теоремы 2 § 12.2 вытекает, что существует вариант стохастического интеграла t
\ or (w (х\ со)) dwu,
о
обладающий нужными свойствами измеримости. Измеримость относительно &r X &red лебегова интеграла
t
\b<$?{x\*>))du
О
313
вытекает из его непрерывности по верхнему пределу и измеримости функции под знаком интеграла. Итак,
t t
(*; со) = х + jj а (?<"> (*; со)) dwu + jj Ь (?<"> (х; со)) du
о о
обладает нужными свойствами измеримости.
Полагая lt(x; со) = lim Qtn)(x; со), если этот предел
П-> оо
существует, и, скажем, ?,t (х~, ш) = х в противном случае, получаем искомый вариант решения стохастического уравнения.
4. Замечания. Метод последовательных приближений — не единственный метод, применимый к стохастическим уравнениям; результаты, касающиеся существования, единственности, оценок решений, можно получать другими методами, при других предположениях относительно коэффициентов.
Полученные результаты без изменений переносятся на случай, когда размерности винеровского процесса wt и решения не совпадают (матрица ctJ- в этом случае не квадратная).