Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 113

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 146 >> Следующая


Теорема 1. Пусть выполнено условие (4). Пусть случайная величина ц со значениями в (Rr,$r) измерима относительно и интегрируема в квадрате: М1'п|2<оо. Тогда существует решение стохастического уравнения (1) при t ^ s с начальным условием gs — г]. При этом М| |2 конечно и ограничено на любом конечном участке изменения t.

Доказательство. Определим последовательные приближения формулой

t t if1 = л + ^а (%?~l))dwu+ 5 b(Pu~l))du- (6)

5 5

В качестве нулевого приближения возьмем = т),

s.

Докажем прежде всего, что все Цп\ t^s, п = = 1,2, ... , действительно определены.

Задача 1. Пользуясь оценками (5), докажите, что если lf-l\ t>s, — предсказуемая функция и M|i<^‘)|2 ограничено на любом конечном участке изменения t, то Цп) определено, предсказуемо, и М |^п)|2 ограничено на любом конечном отрезке.

307
Теперь оценим М||(/!+1) — Vpf- При п = О М j Ц{) — Ц0) |2 = М 1— л |2 =

I i t 12

= М К а (л) dwu + ^ Ь (л) du\ ^

J 5 5 |

^2М Z |j Zст‘ ^ day“ j +2М ? |j^du j •

Первое математическое ожидание равно

I м (а;: (л))2 (*-*)< ^ 2м (1 +1 л I2) (t - *у,

второе —

? М (Ь1 (т,))2 (t - s)2 < г к2 М (1 + IТ, I2) (t - s)2. i

Итак,

М | б}» - If \2^2К2М (1 + | Л I2) (г2 (t - 5) + л (/ - s)2). (7) Теперь при п > О

|2 = М

\ [о(!“)-«(!?-")] <4 +

S

+ 5[б(вд-*й“_,,)]‘'“

S

t

<2

// 5

+2ZM(S[6‘(^))”6I’(^“,))]du)

• (8)

Используем условие Липшица:

I»(&<»>) - ъ1 (&<»->>) |, | о) (&?>) - О(?<„-'>) | <

Первый интеграл в правой части (8) не превосходит L2 ^ М|^— VZ~l)\2du; для оценки второго интеграла

S

308
пользуемся неравенством Коши — Буняковского: t

< м 5 [Ь1 (?<ия)) - ъ1 (^“’О]2 du-(t-s)^

S

t

^L2(t-s) J М|^>-?<?-1>|2^.

Отсюда

М|?<п+1>-?™|2<

< 2L2 (г2 + г (/ - s)) J М | If - V»-" |2 du. (9)

Из (7) и (9) находим следующую оценку:

< 2L2 (г2 + r(t- s)) 2К2М (1 + I -П |2) X

t

X ^ [г2 (и — s) + г (и — s)2] du.

S

t

Здесь (г2 + г (t — s)) ^ [г2 (и — s) + г (и — s)2] du — (г2 +

+ г (t- s)) [г2 (t - s)2/2 + г (t- s)3/3] < [г2 (t- s) + -j- r (t — s)2]2/2. Ясно, что при интегрировании здесь каждый раз будет появляться множитель \/(п-\-\). По индукции получаем

М|^+»-^>|2<

< 2К2М (1 +1 г, |2) (2L2)n [г2 (t - s) + г (t- s)2]n + У(п + 1)!.

Расстояние в пространстве L2 (Q) между ?<"+1) и не превосходит

const • (i V2 Vг2 (t — s) + г (t — s)2)ra+I/V(M + 1)!;

ряд из этих расстояний сходится. Отсюда немедленно получаем сходимость последовательности в среднем квадратическом, причем равномерную в любом

309
конечном отрезке изменения t. Более того, If (ш) при почти всех со сходится равномерно на любом отрезке [s, Т]. Действительно,

Р { шах т 11<"+» - If j ^ 1/2"} <

<р| тах^ Ц [^(^)) ~ а(^и-1))] dwu ^1/2*+1| + + p|emaxr J [Ь(S<“>) — 6(S("_I>)] rf“ >1/2л+,|. (Ю)

Первая вероятность оценивается с помощью неравенства Колмогорова (ведь стохастический интеграл — мартингал); она не превосходит

г

r2L2 J М | If - ?<,»- •> |2 du • (2Л+1)2.

S

Вторая вероятность оценивается с помощью неравенства Чебышёва: она не больше

р {SIь (|(л -ь (^г °) Idu > i/r+i} <

< М ( J | Ь (If) - Ь (12*- ») | du'j (2Л+1)2 < г

< rL2 ^ М | If - |2 du [Т - s) ¦ 4п+\

S

Так как факториалы стремятся к бесконечности чрезвычайно быстро, то ряд из вероятностей (10) сходится: по лемме Бореля — Кантелли шах Щл+1) —

— ?(/1)[<1/2л, начиная с некоторого п, и с вероятностью 1 существует равномерный по любому конечному отрезку предел

|(= Игл If.

ОО

(Для порядка, если предел не существует, положим |< равным, скажем, т].) Этот предел имеет место также

310
и в среднем квадратическом равномерно по любому конечному отрезку.

Реализации случайной функции %t с вероятностью 1 непрерывны; она предсказуема при t > s как предел предсказуемых случайных функций; ?s = t|, так как |W = Tj при всех п. Докажем, что It— решение уравнения (1) (оно же (3)). Для этого перейдем к пределу в формуле (6). Левая часть сходится к %t\ интегралы в правой части сходятся в среднем квадратическом к соответствующим интегралам с вместо SJn):

М

М

2

S а фГО dwu - S (У dwu =

S S

i

¦= I] 5 м К (ВД-«!(!,)]'<*» <
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed