Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. Пусть выполнено условие (4). Пусть случайная величина ц со значениями в (Rr,$r) измерима относительно и интегрируема в квадрате: М1'п|2<оо. Тогда существует решение стохастического уравнения (1) при t ^ s с начальным условием gs — г]. При этом М| |2 конечно и ограничено на любом конечном участке изменения t.
Доказательство. Определим последовательные приближения формулой
t t if1 = л + ^а (%?~l))dwu+ 5 b(Pu~l))du- (6)
5 5
В качестве нулевого приближения возьмем = т),
s.
Докажем прежде всего, что все Цп\ t^s, п = = 1,2, ... , действительно определены.
Задача 1. Пользуясь оценками (5), докажите, что если lf-l\ t>s, — предсказуемая функция и M|i<^‘)|2 ограничено на любом конечном участке изменения t, то Цп) определено, предсказуемо, и М |^п)|2 ограничено на любом конечном отрезке.
307
Теперь оценим М||(/!+1) — Vpf- При п = О М j Ц{) — Ц0) |2 = М 1— л |2 =
I i t 12
= М К а (л) dwu + ^ Ь (л) du\ ^
J 5 5 |
^2М Z |j Zст‘ ^ day“ j +2М ? |j^du j •
Первое математическое ожидание равно
I м (а;: (л))2 (*-*)< ^ 2м (1 +1 л I2) (t - *у,
второе —
? М (Ь1 (т,))2 (t - s)2 < г к2 М (1 + IТ, I2) (t - s)2. i
Итак,
М | б}» - If \2^2К2М (1 + | Л I2) (г2 (t - 5) + л (/ - s)2). (7) Теперь при п > О
|2 = М
\ [о(!“)-«(!?-")] <4 +
S
+ 5[б(вд-*й“_,,)]‘'“
S
t
<2
// 5
+2ZM(S[6‘(^))”6I’(^“,))]du)
• (8)
Используем условие Липшица:
I»(&<»>) - ъ1 (&<»->>) |, | о) (&?>) - О(?<„-'>) | <
Первый интеграл в правой части (8) не превосходит L2 ^ М|^— VZ~l)\2du; для оценки второго интеграла
S
308
пользуемся неравенством Коши — Буняковского: t
< м 5 [Ь1 (?<ия)) - ъ1 (^“’О]2 du-(t-s)^
S
t
^L2(t-s) J М|^>-?<?-1>|2^.
Отсюда
М|?<п+1>-?™|2<
< 2L2 (г2 + г (/ - s)) J М | If - V»-" |2 du. (9)
Из (7) и (9) находим следующую оценку:
< 2L2 (г2 + r(t- s)) 2К2М (1 + I -П |2) X
t
X ^ [г2 (и — s) + г (и — s)2] du.
S
t
Здесь (г2 + г (t — s)) ^ [г2 (и — s) + г (и — s)2] du — (г2 +
+ г (t- s)) [г2 (t - s)2/2 + г (t- s)3/3] < [г2 (t- s) + -j- r (t — s)2]2/2. Ясно, что при интегрировании здесь каждый раз будет появляться множитель \/(п-\-\). По индукции получаем
М|^+»-^>|2<
< 2К2М (1 +1 г, |2) (2L2)n [г2 (t - s) + г (t- s)2]n + У(п + 1)!.
Расстояние в пространстве L2 (Q) между ?<"+1) и не превосходит
const • (i V2 Vг2 (t — s) + г (t — s)2)ra+I/V(M + 1)!;
ряд из этих расстояний сходится. Отсюда немедленно получаем сходимость последовательности в среднем квадратическом, причем равномерную в любом
309
конечном отрезке изменения t. Более того, If (ш) при почти всех со сходится равномерно на любом отрезке [s, Т]. Действительно,
Р { шах т 11<"+» - If j ^ 1/2"} <
<р| тах^ Ц [^(^)) ~ а(^и-1))] dwu ^1/2*+1| + + p|emaxr J [Ь(S<“>) — 6(S("_I>)] rf“ >1/2л+,|. (Ю)
Первая вероятность оценивается с помощью неравенства Колмогорова (ведь стохастический интеграл — мартингал); она не превосходит
г
r2L2 J М | If - ?<,»- •> |2 du • (2Л+1)2.
S
Вторая вероятность оценивается с помощью неравенства Чебышёва: она не больше
р {SIь (|(л -ь (^г °) Idu > i/r+i} <
< М ( J | Ь (If) - Ь (12*- ») | du'j (2Л+1)2 < г
< rL2 ^ М | If - |2 du [Т - s) ¦ 4п+\
S
Так как факториалы стремятся к бесконечности чрезвычайно быстро, то ряд из вероятностей (10) сходится: по лемме Бореля — Кантелли шах Щл+1) —
— ?(/1)[<1/2л, начиная с некоторого п, и с вероятностью 1 существует равномерный по любому конечному отрезку предел
|(= Игл If.
ОО
(Для порядка, если предел не существует, положим |< равным, скажем, т].) Этот предел имеет место также
310
и в среднем квадратическом равномерно по любому конечному отрезку.
Реализации случайной функции %t с вероятностью 1 непрерывны; она предсказуема при t > s как предел предсказуемых случайных функций; ?s = t|, так как |W = Tj при всех п. Докажем, что It— решение уравнения (1) (оно же (3)). Для этого перейдем к пределу в формуле (6). Левая часть сходится к %t\ интегралы в правой части сходятся в среднем квадратическом к соответствующим интегралам с вместо SJn):
М
М
2
S а фГО dwu - S (У dwu =
S S
i
¦= I] 5 м К (ВД-«!(!,)]'<*» <