Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда ^ Gm (и) dam (и) -> ^ G (и) du при т-*- оо.
S S
Теорема доказана (в одномерном случае). Единственное, чем нужно дополнить доказательство в многомерном случае, — это проверить, что при k ф т
t
^ Gn (и, со) daknm {и, со)—>-0 (га-> оо), где акт(и, со) —ломаная с вершинами в точках
(//2“, I {К+тп ~ “4") {К+тп ~
Мы можем не приводить отдельного доказательства, а применить тот же прием, что при решении задачи 5 § 1.2: представить акт в виде акпт{и, со) =
= «„(“, со) — {af(a, со) — Yanm(u’ ®)> где апк’ апт<
а„— ломаные, построенные по суммам квадратов приращений винеровских процессов ш?, шЦ* и wu —
= (wu + Wu )/V 2 •
4. Теорема Г. Результат теоремы 1 сохраняется,
если даже частные производные -^-г не ограничены,
дх‘
но
t
0 /=1 t = l
2
du < oo.
304
Доказательство. Нужно доказать, что почти наверное
Г г Г 1 1
'’(*.!«)='’(о.I.)+5Z Е-S-(°.уп<“•») <*“>1+
0 /=1 Li = I - -»
+ S Х!гГТ(и’ h)g‘ (и, “) +
0 L г=!« *
+7 Z -^?7 (“¦ у ? f ®) /1 («. ®)1<*«¦ (12)
г, /=1 *= 1 J
Условие теоремы обеспечивает существование стохастического интеграла.
Для доказательства возьмем последовательность гладких функций FN(t, х) с ограниченными частными производными, таких, что FN(t, х) совпадает с F(t, х) при Для них формула (12) выполнена. Для
элементарных событий со е AN — { max
0<s<f
имеем FN(t, h) — F(t, It), точно так же производные dF dF d2F
N N N в точках (и, gu), u^Lt, совпадают
dt dx1 dx1 dx‘
с соответствующими производными функции F; поэтому оба интеграла в (12) для функции Fn и для функции F совпадают (лебеговские — потому, что совпадают функции под знаком интеграла, стохастические интегралы совпадают почти всюду на Аы по той же причине в силу теоремы 3 § 12.1). Итак, формула (12) выполнена для функции F почти наверное на множестве Ац. Значит, она выполнена почти наверное
оо
и на множестве (J AN, а это множество содержит
ЛГ= 1
все элементарные события, для которых |s непрерывно, т. е. оно заполняет почти всё ?2: Р ^ (J ^лг^=1-
Это доказывает теорему.
5. Примеры.
а) Для одномерного винеровского процесса d (wty = nw1~l dwt + C2wf~2 dt, т. e.
t t wf — w%=^ nw^~l dws + ^ Clw"~2ds.
о 0
305
б) Задача 3. Докажите, что если f е L2 ((О, Т\ X Q, tPred, mes X Р), то
М ехр 15 f (s, to) dws — y ^ / (s, to)2 ds | < 1.
Задача 4. Докажите, что если при этом | / (t, to) | ^ С < оо, то ехр л \ / (s, to) dws —\ / (s, to)2 ds / — мартингал.
6. Мы рассматривали стохастические дифференциалы для /е[0, оо). Совершенно так же мы можем рассматривать случайные функции, обладающие стохастическим дифференциалом лишь при /е [s, оо) или при t е [/ь t2].
§ 12.4. Решение стохастических уравнений методом последовательных приближений
1. Пусть в пространстве Rr заданы две (измери мые) функции: о(х), значения которой — квадратные матрицы порядка г: а (х) = (о* (*)), и r-мерная векторная функция b(x) = (bl(x), ..., br(x)).
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение
dlt = о (It) dwt + b (If) dt, t^s, (1)
или, в координатах, — систему уравнений
dl\ = 'Lo)(lt)dw[ + bi(li)dt, 1 (2)
Напомним, что уравнение (1) по определению означает, что функция if, t>s, предсказуема и почти наверное
t t lt = ls+\o(lu)dwu+\b(lu)du. (3)
Ясно, что правильная постановка задачи решения стохастических уравнений должна включать еще задание начальных условий.
306
Мы применим к решению стохастических уравнений метод последовательных приближений. От коэффициентов мы потребуем, чтобы они удовлетворяли условию Липшица.
Естественно, если не накладывать на коэффициенты а(х), Ь(х) никаких ограничений, нельзя утверждать ни существования, ни единственности решения. Здесь та же ситуация, что для обыкновенных дифференциальных уравнений, и ясно почему: ведь при ст = 0 (1) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение.
Пусть существует константа L такая, что при любых х, y^Rr
I Ь1 (х) — Ь1 (у) |, \а)(х) — а)(у)\^Ь\ х — у \, (4)
г, j = 1, . . ., г.
Из (4) вытекает, что Ь‘, а‘. растут на бесконечности не быстрее, чем \х\: для какого-то К~> 0
| Ь‘(х)\, |аг‘(*)|<#(1 + |*|2)1/2- (5)
