Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Последовательность пк мы выберем так, чтобы t
| /<"*) (ы, со) —/(ы, со) | du —> 0 не только в среднем, но
о
и с вероятностью 1 и чтобы g(4fc)-*-gu равномерно по и также с вероятностью 1 (для этого достаточно
300
выбрать tik так, чтобы ? Р f max — I |^1/2*}<
к 1о<и<<|
< оо^. функции g^(u, со) с вероятностью 1 сходятся
в среднем в первой степени к g(u, со) уже по нашему первоначальному предположению. При этом с вероятностью 1 функция под знаком не стохастического интеграла в (6) с номером пк сходится в среднем при k-*-oo к такой же функции в (5), а из этого вытекает сходимость интегралов.
Раз левые и правые части (6) с номерами п* сходятся по вероятности к левой и правой частям (5), то из (6) получаем, что почти наверное выполнено (5).
Итак, будем доказывать (5) для ступенчатых f, g. Достаточно доказать эту формулу для одной ступеньки, т. е. для случая, когда f (и, со) з= ^ (со), g(u, со) = = ? (со) при s <. и t, ли ^ измеримы относительно У г, Ml VI2 < оо. Требуется доказать, что почти наверное
(
F (t, lt) — F (s, У = ^ (и, lu) л dwu +
t
+ ^ (u> lu) + -qJ (u> 1ц)? + у ~dxr (u’ ^ du' ^
Функция под знаком стохастического интеграла с вероятностью 1 непрерывна по и, а значит, и непрерывна в среднем квадратическом (так как она мажорируется случайной величиной const- |rj ] е L2(Q)); поэтому
Г 1
ил^и = и.т.? ~{ti, lt^{wti + l-wti)
s 1=0
О)
при измельчении разбиения s — t0 <. ti tn-1 <
< tn = t. Из сходимости в среднем в (9) вытекает сходимость по вероятности (мы заранее переходим к «общему знаменателю», потому что из лебеговского интеграла появится сходимость с вероятностью 1).
П— I
Представляем F(t, lt) — F(s, gs) в виде ? +
301
hi + I) — F (tt, 1^)]; требуется доказать, что хотя бы для какой-то последовательности измельчающихся разбиений
п- 1
lim(P)E
1=0
t
+ h)dii +
S
t t + \^(u^u)Zdu + \j±^-(u,U42du-, (10)
5 S
тогда (8) будет доказано. (Мы могли бы вынести ?,
г)2 из-под знаков интеграла, но нам это не нужно.)
Воспользуемся, как мы наметили, разложением Тейлора
F{U+ь = F (t^ hi)-\-~gf (ti, hl+l) (ti + i — ti) +
+"if (**• ~ +
~2 dx2 (*h hi) (hi + i ~ ^tiT'
Здесь tt — точка между tL и ti + u I*,— между lt и lti + v Вспоминая, что ?u = ^ + л(шц — ws) + t,{u — s) hi + i — hi = ‘4(wti + l — wti) + Z(ti + l — ti), приводим левую часть (10) к виду
П— 1
l»m(P)? [jr(ii, hl + l)(ti + i — ti) +
1=0
+ ^r(ti> 1и)т+1~и) +
+ Т'&(<" к) - Wti)2 +
+ 2г)?(а></ + 1 — wt.)(ti + l — ti) + l2(ti + l — ti)2)].
tl- 1 n — 1
Здесь суммы Zi/+1)(tt + , - t,), '?ж&'1и)'Х
1=0 *=0
302
»
SdF
-gf(u, lu)du>
S
t
5'37'(u. lu)?du, хотя первая из них — не интеграль-
S
ная сумма ^используем то, что ступенчатые функции д f -
со значением -gf(ti,hi+1) ПРИ /г + i] сходятся
к м, 1и) равномерно по и от s до /). Суммы, со-
держащие (wti + l — wtl){ti + l — ti), {ti + i — tif, стремятся к нулю при измельчении разбиения; например, первая из них:
п- I
d2F
1=0
<
d2F
<1^1 шах ~^г(и, х) шах \wv — wa\(t~s),
5<Ы</ ОХ
I X | < max 11и | и-н < h
если max(/i+i — U)^h\ и это выражение стремится к нулю при А-»-0 в силу равномерной непрерывности Wu, S йС U йС /.
Остается доказать, что для какой-то последовательности разбиений
П 1 2 Г 2
2 Ук+1-а,^)2->
Возьмем разбиения, осуществляемые точками вида i/2m (i — целые), где т= 1 для первого разбиения, т = 2 для второго и т. д. Для простоты предположим, что s и < двоично-рациональные (ясно, что достаточно доказать все только для отрезков с двоично рациональными концами). Согласно задаче 2 § 1.2, ломаные
ат(и, <а) с вершинами в точках yk/2m, ? (w(>+i)/2m —
— ш«72т)2) с вероятностью 1 сходятся к и равномерно по liejs,/]. Сумма в (11)—не что иное, как
303
^ Gm(u, a>)dam(u, to), где Gm(u, to) = (г/2'л, fi/2m)
S
при i/2m <; и =?: (/+ l)/2m. Сходимость (11) с вероятностью 1 получается из задачи 2 § 1.2 и следующей задачи.
Задача 2. Пусть ат(и)— последовательность монотонных функций, сходящаяся к и равномерно по и е [s, /], Gm(u)— последовательность функций, сходящаяся равномерно к непрерывной функции G(u). t t
