Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
и с dt. Далее преобразуем dgjdgj:
d-Ц dVt = ( ? f\ dwkt + g* dt) ( ? pm dwf + g> dt) =
= D flkf'm dwkt dwT
km
(члены с dwktdt, (dt)2 отбрасываем как бесконечно малые по сравнению с dt). Произведение дифференциалов dw^ dw’p имеет порядок dt', но что с ним
297
делать дальше? Вспомним, что дифференциалы нас интересуют только как то, что мы будем интегрировать. Какие значения следует приписать интегралам < <
^ (dwluf, ^dwladwl?
S S
Результаты пп. 2, 3 § 1.2 показывают, что первый интеграл следует положить равным t — s, а второй — нулю (это всего лишь наводящие соображения, но уже ясно, что при доказательстве нужно будет опираться на результаты пп. 2, 3 § 1.2). Итак, (day*)2 нужно заменить на dt, а dwkt dim™ при т Ф I — на нуль.
Получаем d\\ d-Ц = ? f‘J[ dt; подставляя выражения
k
для dQ и d\\d\\ в (4), получаем (3).
Формулируем правило оперирования со стохастическими дифференциалами: чтобы найти dF(t,?,t), записываем разложение Тейлора для F(t-\-dt, gf + dg<) вблизи точки (t, ?*) до членов со вторыми производными; само собой, вычитаем из него F(t, %t). Затем (dt)2, dt dwf dw\ dw'p с k Ф tn выбрасываем, a (dwf)2 заменяем на dt. Ну, еще стоит привести подобные члены.
Формула (3) была получена К. Ито и называется его именем; она носит также название формулы замены переменных в стохастическом интеграле (потому что стохастические дифференциалы, по определению,— сокращенное выражение некоторых интегральных соотношений).
Примеры рассмотрим после доказательства теоремы.
3. Доказательство теоремы 1 проведем в случае г — I= 1 просто из-за удобства обозначений. Дело в том, что мы будем рассматривать последовательности функций, сходящиеся к f(u,a), g(u,a), и в многомерном случае нам пришлось бы пользоваться громоздкими обозначениями вроде (п)(и, «в), g‘ (и, со) *).
*) Впрочем, доказательство со всеми формулами годится и
(Л) dF
в многомерном случае, если понимать под g, g' , векторы,
/„) d2F
а под }, Г1, ^2 матрицы и множить их в нужном порядке,
транспонируя то, что следует.
298
Итак, требуется доказать, что t
F (t, lt) - F (s, У = $ -ff{u’ lu) f {u’ a) dw“ + t
+ 5 [jjf(“. ?«) + -ff- («, У?(м,м) +
+ у JpT (“» ?a) / (“» ®)2] (5)
(из предположений теоремы вытекает, что стохастический интеграл имеет смысл).
Возьмем последовательность ступенчатых функций /<") е L2(&red), сходящихся к / в этом пространстве, и последовательность ступенчатых предсказуемых g(n) (и, а), сходящихся при почти каждом со к g(u,a) в среднем в первой степени на отрезке (0,t] (как это можно сделать, показано в задаче 6 § 12.1). Положим
t t Цп) = ?о + \ f(n) (“> ®) dw« + \ ?<п) ®)du-
о о
Задача 1. Докажите, что 0 ^ s /, равномерно сходится к по вероятности в том смысле, что для любого е > О
Отсюда вытекает, что достаточно доказать (5) лишь для ступенчатых функций. Действительно, пусть доказано, что
t
F (/, ?<">) - F (s, g<»>) = 5 It («. W) /<»> (U, со) dwu +
s
t
+U-ff вд+Ъ (“• v”) «ю <“¦«)+
+ -J l^r (u> ?1Л>) fin) (“» ®)2]du• (6)
При я-»-оо левая часть (6) сходится по вероятности к левой части (5). Стохастический интеграл в правой
299
части — тоже, и даже в среднем квадратическом. Действительно, t
М
дх
S
t
\
M|ir(u- W(n)(“. cd) "da. (7)
Среднее под знаком интеграла здесь не превосходит
2М||г(“• К'МрГ'1". »)-«», »)Р +
+ 2М (и, 1») - |f (0,y f I f (a, ») P.
Первое математическое ожидание не превосходит
t
const ¦ М| f(n)(u> ш)— /(«, со) |2, и интеграл ^ от него
S
стремится к нулю. Во втором математическом ожидании первый сомножитель сходится к нулю по вероятности, и оно стремится к нулю для всех и, для которых случайная величина const- |f(u, со) |2, мажорирующая всю последовательность, имеет конечное среднее, т. е. для почти всех и. Интеграл от 5 до t также стремится к нулю по теореме о мажорируемом предельном переходе. Итак, выражение (7) стремится к нулю при я-»- оо.
Что касается обычного, не стохастического интеграла в правой части (6), то он сходится к соответствующему интегралу в (5) по вероятности; но мы не будем доказывать в точности это, а покажем, что некоторая подпоследовательность этих интегралов с номерами я*—>-оо будет сходиться с вероятностью 1.
