Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 2. Пусть f(x; t, со)—функция на множестве X X (0, оо) X й, измеримая относительно S6 X S'red и такая, что
294
г
М ^ I f (х; t, а) |2 dt < оо при любых х е X, Т < оо. Пусть су-о
ществует функция К(х, Т) < оо, леХ, Т < оо, такая, что М | / (jc; со) — / (х; s, со) |2 < К {х, Т) \ t — s | при всех х е Х\ s, t Т. Тогда существует вариант стохастического интеграла
t
г) (х; t, ев) = ^ / (х; s, со) dws,
о
также измеримый относительно SB X 9>red и непрерывный по t при почти всех ш.
Доказательство. Для ступенчатых функций fn SB X X ^гей-измеримость и непрерывность по t функции t
^ /" (х\ s, со) dws = fn (х; t0, e>) • (wu — wu) + ...
tk, to) • (», - wtky tk < t < /ft+I,
очевидны. Полагаем /я (x; a>) = f (x; \\Ont]j\Qn, to), r| (x; t, e>) =
t
= lim \ fn (x; s, to) dws, если этот предел существует, и П~> оо J
О
г| (jc; t, ш) = 0 в противном случае. При любом х с вероятностью 1 имеет место равномерная сходимость на любом конечном отрезке изменения t.
§ 12.3. Стохастические дифференциалы. Формула Ито
1. Пусть wt — одномерный винеровский процесс, t — сг-алгебры, связанные с ним так, как было сказано в предыдущем параграфе. Пусть t ^ 0, — предсказуемый при t > 0 случайный процесс, принимающий значения в (Z?1, &1). Мы говорим, что этот процесс имеет стохастический дифференциал
dlt = / if, со) dwt -f g it, со) dt,
если
почти все траектории ^(со) непрерывны;
/(/, to), git, со), t > 0, — предсказуемые случайные функции, / — принадлежащая L2((0, Т] ХЙ) при любом конечном Т, g — интегрируемая в первой степени по любому конечному отрезку при почти всех со; почти наверное при всех /
t t
lt = lo+\f is, со) dws+^g is, со) ds.
0 0
295
Теперь пусть даны r-мерный винеровский процесс Wt = (w], ..., wty и семейство а-алгебр ?F<; определим, что значит, что /-мерный случайный процесс \t — = (?}......Vt) (почти все реализации которого непре-
рывны) имеет стохастический дифференциал
dlt = f (t, со) dwt + g (t, со) dt, (1)
где f(t, to), t > 0, — предсказуемая матричная функция (f‘(t, со)), i=l, / = 1, • • -, r; g — векторная:
g(t, со) = (gl(t, со), ..., g(t, со)). Запись (1) в координатной форме:
Г
dl\ = ? /'¦ (t, со) dw[ + g‘ (t, со) dt, i=\, ..., I (2) /-1 '
(обозначения, принятые при обращении с тензорами: индекс, встретившийся один раз внизу, один раз вверху, напоминает, что по нему надо провести суммирование). По определению (1) или (2) означают, что
t г t
?? = So + § Yj f‘i (s> dw* + \ ds’
0 y = l 0
Формулировка примера Зв) § 12.1 на языке стохастических дифференциалов: d(wt)2 = 2wtdwt + dt.
2. Теорема 1. Пусть l-мерный процесс l,t имеет стохастический дифференциал (1) (в другой форме —
(2)); F(t,x), t^i 0, x^R1,— числовая функция, непрерывно дифференцируемая один раз по t, два раза
dF
по х‘, х1', причем частные производные ограни-
чены. Тогда случайный процесс F(t,%t) также имеет стохастический дифференциал
Вероятно, читатели несколько подавлены этой формулой.
Покажем, из каких соображений можно прийти к ней. Это, помимо всего прочего, поможет читателю научиться самостоятельно выписывать эту формулу — и в общем виде, и в конкретных частных случаях, а также наметит путь доказательства.
В стохастическом дифференциале есть члены f) dw[ порядка (dt)112 (w‘t+dt — w\ нормально со средним 0 и стандартным отклонением а — л/dt) и члены gldt порядка dt\ вводить члены более высоких порядков, например (dt)3/2, бессмысленно: они все равно пропадут при интегрировании (интегральная сумма из слагаемых порядка (At)3/2 с числом слагаемых порядка (At)~l стремится к нулю). Выпишем разложение Тейлора для F(t-\-dt, Ъ+dt), причем будем брать члены разложения до тех пор, пока не пойдут члены порядка выше dt. Дифференциал гладкой функции h(t) имеет порядок dt, так что для нахождения dF(t,h(t)) нужно брать разложение Тейлора только до членов первого порядка: следующие будут уже порядка (dt)2. Для нахождения дифференциала dF(t,i,t) нужно будет взять, кроме членов первого порядка, еще члены вида
1 d2F . 1 r)2F r)2F
-----:—-dlltdlL а членов----------(dt)2, ----rdtd\\ и
2 дх1 дх! 2 dt2 dtdx1 1
членов разложения третьего порядка брать уже не нужно — они порядка (dt)z/2 или выше. Записываем разложение:
F(t + dt, %t + d\t) — F (t, it) =
= *Ldt+Y*f-dl (4)
dt ^ dx‘ ' 2 ^ dx‘dx< 11
i 4
dF
В слагаемых —r d\\ приводим подобные члены с dwl дх1
