Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
^тах
так, чтобы М ^ I fn(t, со) — f(t,,(a) \2dt < 1/10". Тогда
td
*ma к
M ^ | fn(t, co) — fn+l (t, co)|2 dt < 2/l0", и так как
to
t
5 [fn+1(s, CO) — f(s, <a)\dws — мартингал с непрерывно
ными реализациями, то в силу неравенства Колмогорова
Р | sup ^ fn+1(s, со)dws— ^ F(s, со)dws ^ 1/2"!
1Л<*<*Шах t„ t„ У
шах
М J [r+l(s,u)-rt(s,o)]dwt
10*
>l/2raj<
f(l/2“)2< l/2“_1.
291
Так как ряд из этих вероятностей сходится, то по лемме Бореля — Кантелли получаем, что с вероятностью 1 осуществляется лишь конечное число событий в фигурных скобках. Это означает, что с вероятностью 1 ряд
равномерно сходится на отрезке [/о,/шах]. Теперь остается выбрать в качестве нужного нам варианта т}, такой:
Этот предел измерим относительно Pred и с вероятностью 1 непрерывен по t как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. При фиксированном t случайная величина т]< является
вариантом стохастического интеграла \ f(s, со)dws.
Осталось проверить для произвольных функций f,g^L2(^red) утверждения а), г). Покажем, как доказывается последнее.
Берем сходящиеся к f я g функции /" и gn
вида (2) и (4); ц" = ^ fn (s) dws, ?? = ^ gn (s) dws.
Ясно, что j “' j = j > обозначим сейчас через I
to to t'
отображение, ставящее в соответствие функции f ее интеграл от t' до t". Согласно задаче 1, достаточно
t
lim \ fn(s, со) dw.
is, если последовательность интегралов сходится; (6)
если она расходится.
t<3
t" t' t"
292
доказать, что
М (/(/)/(g) | ^r) = М (j /(/, со)g(t, со)Л|^У
Нам известно, что эта формула выполнена для /п, gn:
м (/ (/") I (gn) I Pi’) = М ^ 5 f" (/, со) gn (t, со) dt I srt^.
Чтобы осуществить предельный переход, сведем утверждение, касающееся условных математических ожиданий, к безусловным: дано, что для любого <4е
S / (Л / (ga) Р (<М = S Г \ Г (t, со) gn (t, со) dt1 Р (da), (7) А Д L J
>4
требуется показать, что
$/(/)/ (г) Р (Ж>) = S [ 5 / (*, со) г (/, со) л] Р (Ао). (8) A A L'r J
Правая часть (8) отличается от правой части (7) не более чем на
t" t”
J l\f\\**-g\dPdt+l \\g\\fa-f\dPdt +
At' At'
t"
+ \\\r-fWgn-g\dPdt. (9)
A t'
Интегралы по А не превосходят интегралов no Q, и выражение (9) не превосходит
й-" — ? II + II ? IIИ Г — / II + IIГ ~ / ИII g" — ? II. (10)
что стремится к нулю при л->- оо (|| || — норма в
L2((t', /"]X ^); используется неравенство Коши — Бу-няковского). Левые части (7) и (8) различаются не более, чем на
\[\Kf)\\i(gn-g)\ + \i(g)\\i(r-f)\ + +\nr-f)\\i(gn-g)\}dP< <111 (/) llll I (gn - g) II + II / (g) Nil i (Г - /) II +
+ II/(/"-/)llll/(я"-*)II- (10
293
В силу изометричности отображения выражение (11) равно (10) и стремится к нулю при л—>-оо.
Итак, предельный переход в (7) дает (8). Теорема доказана.
Для многомерных стохастических интегралов выполняется то t г t г
же, бикомпенсатор Я fI (s, 4>)dw‘s и SE gt (s, со) dw‘s равен
fo 1 = 1 /о i = 1
t г
s Y h ('s' 8l ('s’ d-
U I-1
Утверждение п. 26) предыдущего параграфа, касающееся значения wt в марковский момент т, переносится на непрерывный вариант стохастического
X
интеграла: если М ^ | / (s, co)|2ds<oo, то Лг —
оо 0
= ^ %<x(s)f(s, со)dws, где rjt — результат подстановки о
т —т(со) в непрерывный вариант стохастического t
интеграла ^ f (s, со) dws: Tlt==TlT(a))(®)- В частнос-
о
ти, так как стохастический интеграл имеет нулевое среднее, то Mtix = 0. (Более выразительно, но менее
точно: со)dws = 0.)
о
2. При построении диффузий с помощью стохастических интегральных уравнений (§ 12.5) нам понадобится выпускать траектории из разных точек фазового пространства и рассматривать стохастические интегралы от функций вида f(x; s, со). При этом необходимо заботиться о техническом требовании измеримости по х. Измеримость по (t, со) мы обеспечили применением измеримой операции перехода к пределу (6), выбрав быстро сходящуюся последовательность lfn (•, •)• Но для f(x; s, со) в общем случае применить этот прием не удается, потому что мы не знаем, как выбрать последовательность fn(x; s, со), сходящуюся быстро сразу при всех х. Эту техническую трудность мы преодолеваем для класса функций / (•; •, •), удовлетворяющих некоторым ограничениям.
