Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
1.1. Вывести выражение (5.6).
12. Вывести равенство (5.13а), исходя из четырехмерного потенциала, имеющего компоненты ^l1 = Zl2 = Zl3 = O и A0 = /(г).
13. Записать точную формулу для красного смещения (5.21) в виде разложения в ряд и сравнить результат с рядом, полученным из релятивистского допплер-эффекта при выводе принципа эквивалентности (гл. 1). До какого порядка по гравитационному потенциалу согласуются между собой эти разложения? Приводит ли это к противоречию между общей теорией относительности и принципом эквивалентности?
14. Вывести выражения (9.1), (9.2) и (9.3).
15. Показать, что из выражения (9.44) следует одно и то же значение К при образовании любых линейных комбинаций векторов А л В.
16. Пусть задан лагранжиан
L—q0 2 — q* + + b2q2 -f b3q3 -f q4,
где bv b2 и ^3-функции переменных qu, q}, q2 и q3. Получить уравнения движения.
17. Произвести преобразования, приводящие к выражениям (9.87), (9.91), (9.95), (9.106) и (9.107).
18. На спутнике помещены естественные часы, показания которых сравниваются с показаниями тождественных им часов, покоящихся на поверхности Земли. Показать, что при сравнении протекших интервалов по истечении заданного промежутка координатного времени мы обнаружим 1)
ds, ~ds2 __ GM ( 1—2hjr __ 3<.>2 \ ds, ~ 2c2r Iv 1 + Л/г 4TtCPA| j '
где S1 — интервал, измеренный часами на поверхности Земли, S2 — интервал, измеренный часами на спутнике, h — высота принятой за круговую орбиты спутника над поверхностью Земли, M — масса Земли, рм — средняя
') См. также Singer, Pliys. Rev., 104, 11 (1956). 229 Упражнения
плотность Земли, гит — соответственно радиус и угловая скорость вращения Земли.
19. Найти в выражении (9.107) слагаемые, составляющие трехмерную скалярную кривизну.
20. Рассмотреть1) теории тяготения, использующие частицы спинов 0 и 1, и объяснить причину их несостоятельности.
') См. также S. N. Oupt a, Rev. Mod. Phys., 29, 334 (1957). Дополнение I
Высший предел для межзвездного гравитационного излучения
Дж. Вебер, P. JI. Форвард, Д. Запой, С. Смит и X. Бениофф')
Влияние гравитационного излучения на упругое тело было исследовано ранее [1]. Изменяющаяся во времени компонента тензора Римана (R10Jq), связанная с гравитационным полем, действует в качестве движущей силы в волновом уравнении для напряжения или смещения. Было предложено [1] использовать в качестве детектора гравитационного излучения собственные колебания Земли или какой-либо массы внутри лаборатории. В настоящее время в .Мэрилендском университете проводятся эксперименты по измерению межзвездного гравитационного излучения на частотах в тысячи герн.
Исходя из теоретических соображений, мы ожидаем, что спектр шумов межзвездного гравитационного излучения будет иметь максимум на очень низких частотах. Следовательно, наиболее выгодно будет использовать детектор с предельно низкой возможной частотой отпета. Наибольшей массой, доступной для эксперимента, является сама Земля. Различные теоретические виды колебаний для Земли были известны с 1882 г. Однако до самого последнего времени [2] не были известны приборы с достаточно большим периодом колебаний для измерения частот и амплитуд колебаний Земли.
Используемые здесь данные были получены с помощью сейсмографа В. Беииоффа № 32° в Изабелле (Калифорния). Амплитуды напряжений в земной коре были проанализированы, исходя из этих данных, в сейсмологической лабора-
') J. Weber, R. L. J or ward, D. Zlpoy, С. Smith, Н. В е п і о f f, Upper Limit for Interstellar Gravitational Radiation, Nature, 189, 473 (1961). Предел межзвездного гравитационного излучения
233
тории Калифорнийского Технологического института при помощи вычислительной техники, предоставленной фирмой Сан-диа корпорейшн. Измерения, проведенные после недавнего землетрясения в Чили, были достаточны, чтобы отождествить различные типы колебаний и определить их ширйньг и частоты. Данные, полученные на изабелльском сейсмографе в течение спокойного периода, не дают пиков на частотах различных видов колебаний; следовательно, напряжения, наблюдаемые прибором, представляют собой внешние шумы, лежащие выше уровня действительных напряжений, создаваемых рассматриваемыми видами колебаний в течение спокойного периода. Эти данные, таким образом, полезны только для установления приблизительной верхней границы эффектов гравитационного излучения. По этой причине точный анализ влияния тензора Римана на различные тины колебаний хотя и возможен, но ценность его весьма невелика. С целью вычисления верхнего предела мы используем уравнения, полученные Вебером для величин напряжений, вызванных тензором Римана в продольно колеблющемся стержне [1].
Натяжения в упругом теле при резонансе связаны с ри-мановым тензором соотношением
Sr^oyoM, W
где е(ш) и Riajn(O) — компоненты Фурье соответственно натяжений и тензора Римана, ш — угловая частота, с — скорость света и Q — отношение частоті,! к резонансной полуширине. Возводя в квадрат (1) и интегрируя по всем частотам, мы получаем для среднеквадратичного натяжения, связанного с данной гармоникой:
