Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
7. Спиноры в общей теории относительности
Здесь мы коротко рассмотрим формализм, использованный Баргманомдля описания спинорпых полей в общей теории относительности. Вводится поле ^-матриц, удовлетворяющее аптикоммутациопиому закону
TJv+ TvT11= 2JBV,/. (9.124)
где /-единичная матрица. Компоненты матриц f предполагаются непрерывными функциями координат, преобразую-
') Здесь мы следуем Д. Бриллу и Дж. А. Уилеру [39]. См. также работы В. А. Фока и Д. Иваненко [40—42J. 224
Глава (і
щи миси при преобразованиях координат как компоненты пек-тора. При снипорном преобразовании
(Спипор)иов -S1 (Спинор)сир, (9.125)
матрицы і преобразуются по закону
(TeW = S"1 (7. W-S. (9.126)
Проще использовать вещественное представление матриц f и спинорные преобразования S, матричные элементы которых также действительны.
Дальнейший формализм строится для того, чтобы обеспечить тензорные законы преобразования для тензоров, спинорные преобразования (9.125) для спиноров, а для спин-тензоров при снипорном преобразовании закон
(¦^[XV)hob. = S 1 (Т^Лтар.^- (9.1 27)
Для ковариантпого дифференцирования вводятся дополнительные 4Х4-матрицы Га. Ha основании закона (9.124) эти матрицы Га определяются с точностью до величины, пропорциональной единичной матрице, согласно соотношению
Tm-» V ~ rVvTa - Г,T11+ T,J\ = 0. (9.128)
Ковариантная производная по Xli от величины, обладающей спииориымн трансформационными свойствами, записывается с помощью символа Vli и удовлетворяет следующим условиям:
V14(^fl) = (V11M) Я +Л (V11B)1
V1I и*) = (V)*' <9л29>
Vv = O.
Здесь звездочка означает транспонированную комплексно сопряженную величину. Можно использовать и линейные приближения ^-матриц, известные из специальной теории относительности. Мы обозначим их через f и запишем
JMV+TvT,=2V: (91;Ю)
V=Ti' То* = То- Избранные вопросы общей теории относительности-
225
Часто используется локальный ортогональный репер (Vierbein, тетрапод). В каждой точке вводится локально лоренцова метрика с помощью соотношений
dx* = a\dx\ dxv-=b^dxK (9.131)
Здесь X" — координаты, соответствующие лоренцовой метрике, a — общий случай координат.
Система матриц-jf, удовлетворяющих закону (9.124), имеет
вид
Tf=VL- (9-132)
Решение уравнения (9.128) для Г ^ приводит к выражению
' д!к P
Г..
I1
(^гЦ-г v]sx,-W- (9.133)
Здесь ?^ произвольны, a S^v = '/2 (T1V — їЧ1*)- ^Ph использовании формализма локальных реперов преобразование подобия спиноров соответствует лоренцову преобразованию репера.
Коварпантная производная спинора ф имеет вид
Ковариаптная производная спиптензора F равна
Wv = + P^a - W,. (9.135)
Зарядовое сопряжение по Паули мы обозначим индексом + и определим эту операцию как
= (9.136)
где р — эрмитова матрица, которая выбирается таким образом, чтобы матрицы Zj^v были также эрмитовы. В формализме локальных реперов J3 = /^0. Вещественные величины, подобные плотности тока, можно записать в виде
Г = ф+^ф. (9.137)
В общей теории относительности уравнение Дирака принимает вид
7*^ + 1^ = 0. (9.138)
15 Дж Всбер 226
Глава (і
причем произвольное значение следа матриц T11 подбирается таким образом, чтобы было учтено присутствие четырехмерного электромагнитного потенциала. Уравнение (9.138) можно получить из следующего вариационного принципа:
S / fo V (V.W + Н»+ФІ VzrS 0. (9-139)
где величины и ^ варьируются независимо друг от друга.
При помощи этих соотношений можно обосновать утверждение о том, что атом представляет своего рода естественные часы. Вдоль мировой линии атома можно ввести лоренцову систему отсчета. Тогда для атома будет справедливо приближение уравнения (9.138) в плоском пространстве, так как масштабы атома слишком малы для того, чтобы внутренние движения его частиц испытывали влияние тензора Римана. При сравнении излучения такого атома с излучением атома, находящегося на большом расстоянии, производится такое преобразование координат, что изменяется лишь временная координата, причем для атомов, расположенных в различных точках, используются одни и те же временные координаты. Тогда из (9.124) следует, что ^0 = ^0 У — ^r"0. Энергия ассоциируется с оператором -fdjdxтак что энергетические уровни принимают значения En = E"0 У~ ffu0 в согласии с формулой для красного смещения.
литература
1. Kursunoglu В., Proceedings of the Chapel Hill Conference
on the Role of Oravltation In Physics, 1957; ASTIA Document
ADl 18180; WADC Techn. Rcp., 57—216.
2. Hlavaty V., Geometry of Einstein's Unified Field Theory, Gro-
ningen, Netherlands, 1957.
3. Rainlch G. Y., Trans. Am. Math. Soc., 27, 106 (1925).
4. M і s n e г С. W., W h e e I e r J. A., Ann. of Phys., 2, 6, 525 (1957).
5. Wheeler J. A., Ann. of Phys., 216, 604 (1957).
6. Witten L., Pliys. Rev., ПО, 635 (1960).
7. Wheeler J. A., Phys. Rev., 97, 511 (1955).
8. Einstein A., Orommer J., Sitzber. Preuss. Akad. Wiss., 1,
6, 235 (1927). Литература
227
9. Фок В. A., Rev. Mod. Pliys., 29, 3, 325 (1957).
