Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Желательно, чтобы выражения для энергии и импульса замкнутой системы содержали только величины, необходимые для описания состояния системы в данный момент времени. В общей теории относительности такими переменными в отсутствие каких-либо координатных условий являются величины gy и -Klj-, величины g0 уже пе могут служить для нашей цели, так как они выражают характер изменения выбора координат в последующие моменты. Этому условию удовлетворяет выражение (9.115) для энергии. Рассуждения, подобные только что приведенным, справедливы и в отношении полного импульса гравитирующей системы, когда снова величина -к1 при асимптотическом удалении переходит в координатный скаляр. Примером задачи начальных условий, в которой величины g0 не определены, является пространственная метрика для „проблемы многих тел" Лишперовица [37]:
^М+ЕзїтЬ^' (9Л17а)
к'J :-=0. (9.1176)
Здесь из уравнения (9.110) однозначно следует значение 2 ап для энергии. Избранные вопросы общей теории относительности-
221
Этот формализм позволяет нам также сформулировать критерии существования гравитационного излучения, полностью соответствующие подобным критериям в электродинамике. Так условием уходящего на бесконечность излучения является существование там вектора Пойптинга. Поток энергии сквозь бесконечно удаленный элемент поверхности dSi равен
TfdSl — j^dSl, (9.118)
где правая часть вновь может быть вичислена в любой асимптотически декартовой прямоугольной системе координат. В более общей формулировке критерий существования гравитационных волн в какой-либо точке, состоит в наличии в этой точке (в канонической системе координат) отличных от нуля величин gij1T и -Kijrr. Иначе говоря, это означает, что в такой точке имеет место возбуждение гравитационного поля, отразившееся в поведении одной из его канонических переменных (которые не зависят от переменных источника). Это утверждение совпадает с определением волны в теории электромагнетизма, требующим существования канонических переменных электромагнитного поля Ar или E17'. В случае, когда полное отсутствие воли очевидно, а именно для решения Шварцшильда, можно убедиться, что в канонической системе величины gijTT и lKijrr повсюду равны пулю, чем и оправдано отношение к этому решению как „решению для одной частицы". При рассмотрении приведенных выше начальных условий „проблемы многих тел" аналогичный вывод не был получен.
в. Замечания о квантовании общей теории
относительности
Как было отмечено Ландау, Клейном и Паули, квантованная общая теория относительности должна рассматриваться в теории элементарных частиц высоких энергий. В квантовой электродинамике был предложен импульс обрезания Р, для которого
а
1
(9.119)
Здесь а- постоянная топкой структуры, a m масса покоя электрона. Выражение (9.119) было получено Челленом 222
Глава (і
и Паули как следствие требования математической непротиворечивости теории. Ландау заметил, что для энергий, соответствующих импульсу обрезания, гравитационное взаимодействие уже достигает порядка величины кулоновского взаимодействия. Иными словами, по мере роста энергии возрастает масса и сила гравитационного взаимодействия. В то же время электрический заряд не изменяется.
Принципы квантовой теории хорошо разработаны. В этих принципах отражена „зернистая" структура природы и факт взаимодействия мел<ду измерительными приборами и исследуемыми системами. Как заметил Бергманн, некваитованная общая теория относительности не может существовать рядом с квантовой теорией без противоречий. Гравитационное поле описывается метрическим тензором; в этом смысле оно является наиболее фундаментальным физическим полем. Его квантование может оказать глубокое воздействие на наше понимание пространства и времени, особенно в рамках малых масштабов (высоких энергий).
Любопытно, что из величин Л, G и с можно построить величину, имеющую размерность длины:
Эта величина слишком мала для того, чтобы быть непосредственно связанной с известными в настоящее время размерами элементарных частиц. Если ') обратиться к фейн-мановской теории квантования, то следует записать для волновой функции поля выражение
(9.120)
Фпосл. = JKb с') Фпрс*. (*') ac'.
ядро которого равно.
e"H/h-MjIi&oRV - ^xI- (9Л22)
И/А —
') Приводимые рассуждения следуют замечаниям Дж. А. Уилера. Избранные вопросы общей теории относительности-
223
Фейнмановская сумма в принципе должна включать всевозможные метрики и топологии как допустимые истории, если они совместны с лоренцовой сигнатурой. Так как
то из выражения (9.122) следует, что при рассмотрении четырехмерной пространственновременпой области с линейными размерами L следует ожидать квантовых флуктуаций порядка
(9.123)
Можно было бы также рассчитывать на устранение трудностей квантовой теории поля [38]. В ней используется ряд функций, имеющих особенность на световом конусе. Рассмотрим две точки, лежащие на световом конусе в плоском пространстве. Переходя к искривленному пространству, мы обнаружим, что вторая точка уже не лежит более на световом конусе. Производя фейнмаиовское суммирование по всем метрикам, вероятно, можно ликвидировать трудности, связанные со свойствами функций на оиетовом конусе. К сожалению, это означает, что любая попытка квантования, исходящая из линейного приближения плоского пространства, будет неизбежно сама содержать все эти расхождения. Для их устранения может оказаться необходимым с самого начала ввести квантование нелинейной теории.
