Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
217
связей G^ --R1^ ¦¦ 1I2^iIlR=Q [в спою очередь получаемых при варьировании выражения (9.108) по ( '"/?].
Разложим теперь величины g^ и tJ1 па взаимно ортогональные составляющие, пользуясь общей схемой
' Zv = ZiZr+ HpV7' -4/r.<y) + A, + Zy., (9.109)
где 1/Д—обратный оператор Лапласа плоского пространства при надлежащим образом подобранных граничных условиях, и, кроме того,
Zr = Zw-T Zy. и- (9Л09а)
ft = T(f* J-Hf (9Л09б)
величина же /^tt описывает поперечно-поперечную часть поля ff], след которой равен нулю:
ZzAy = Znrr^ 0.
Такое разложение имеет смысл лишь при наложении системы координатных условий. Мы выберем следующие:
Sn. I= 0. к11.]]—Kli-U = O- (9-11°)
При этом общая ковариантность теории сохраняется, так как наложение этих координатных условий эквивалентно использованию определенных инвариантных функционалов от метрики в качестве независимых переменных вместо координат1). Условия (9.110) означают, что выбраны функ'
") Так условия де Дондера (У—g gv-''),= 0, представляющиеся, как хорошо известно, на первый взгляд нековариаптными, эквивалентны ковариаптному требованию, что в качестве координат х* следует взять четыре линейно независимые скалярные функции A®, причем Act11V11 = O. Такая эквивалентность координатных условий и ковариантных соотношений имеет место и в данном случае, а также, конечно, и при любом другом выборе координат, не зависящем от величин Xi1, соответствующих какой-то исходной системе. 218
Глава (і
ционалы')
< = Xi^gt. (9.111)
Они обеспечивают асимптотически плоский характер пространства.
Вводя в генерирующую функцию разложение на ортогональные составляющие, получим после нескольких интегрирований по частям
О = J K11tt Чцтт + gTufi [- 2Г*Г] ~ ^il., Ц d*x,
(9.112)
так как в интеграле действия вариация 8 и дифференцирование по времени коммутируют с операцией разложения по ортогональным составляющим. Здесь величины g1 м и k1Jij можно выразить через gtjTT и ktjrr, решая четыре уравнения для связей2) Op0 = 0 относительно этих величин. Таким образом, мы видим, что генерирующая функция (9.112) имеет стандартный канонический вид G = pbq — Hbt с добавлением членов, содержащих импульсы T10, и характерных для теории поля:
O = J IlKijrr IgJr — 8/ + Tp d3x. (9.112а)
Так как в выражениях для gtj и Klj координаты Xі и t явно не фигурируют, они пе войдут явно и в уравнения O0 = 0. Дальнейшие вычисления показывают, что они не появляются
') Чтобы связать (9.110) и (9.111), на оператор 1/Д, разумеется, были наложены соответствующие граничные условия. Простой способ придать этому оператору явно несингулярный вид состоит в том, что выражения (9.111) переписываются в виде te~ar = — (,1I2A) itr, х'е~"r — q{j а в дальнейшем, по окончании расчета, берутся предельные выражения при а->0.
2) Тот факт, что уравнения Ojl0 = 0 имеют решения по крайней мере b виде рядов теории возмущений для gr, Il и TtijtJ, можно легко проверить; также может быть проверено и выполнение указанных координатных условий в таком разложении. Таким образом, гамильтониан может быть представлен в виде бесконечного разложения в ряд по степеням канонических переменных, начиная с га-
мильтониана линеаризованной теории. Избранные вопросы общей теории относительности-
219
также и в решениях для gTdl и к11 Таким образом, величины
^ = -St, a(g Utt, *'1ТТ). ^TiO = -KUijigrTTi %rsTT) (9Л13)
не зависят явно от координат. Этот факт независимости ot координат позволяет нам вывести обычные законы сохранения. Из выражения (9.112а) и из того, что действие, соответствующее выражению (9.108), приводится к виду
/ =/{я"77" (Syrr). о-3V(guTT, KiiTT)}d*x, (9.108а)
следует, что названными двумя независимыми парами канонических переменных являются gljTT и -K1jtt. Поэтому эти величины удовлетворяют простым соотношениям для скобок Пуассона
IgmTT (г)) китт (п j _ bi)mn {r . гуг (9 л ! 4)
где поперечно-поперечная 8— функция %IJmnTr с нулевым следом определяется как в линейной теории и, конечно, не зависит от метрики 136].
Энергия поля E определяется как численное значение гамильтониана для данного решения уравнений движения. Таким образом, при оценке величины
Е = — j gTMd3x (9.115)
компоненты gT,u не требуется выражать через канонические переменные, так что E можно представить в виде интеграла по поверхности (хотя сам гамильтониан и не приводится к такому виду). Из выражения (9.109а) следует, что
E = - J gTH dSt = - f {gjh t - giJtJ) dSt, (9.116)
где dS[ — 112eijk dx1 dxk— бесконечно удаленный элемент двумерной поверхности в прямоугольных координатах. Здесь было принято, что метрика асимптотически приближается к метрике плоского пространства, а координаты становятся декартовыми прямоугольными на пространственной бесконечности. Преобразования координат, при которых эти граничные условия сохраняются, можно точно рассмотреть в ли- 220
Глава (і
неаризованпой теории, где величина gr является координатным скаляром [36]. Таким образом, нет необходимости для оценки энергии приводить метрику к канонической системе координат. Равным образом нет необходимости использовать прямоугольные координаты, производя обычные тензорные преобразования в плоском пространстве к требуемой (например, сферической) системе. Фактически это определение равносильно утверждению о том, что величину энергии замкнутой системы можно найти из коэффициента, стоящего при члене 1 jr в асимптотическом разложении gT. Эта величина совпадает также с гравитационной массой системы, действующей на удаленную пробную частицу (в силу граничных условий). Постоянство энергии обеспечивает независимость этого коэффициента от времени. Выражение (9.116) не изменяется при добавлении точечной частицы, взаимодействующей с гравитационным полем; в этом случае величина E описывает полную энергию системы, включая энергию связи. В простейшем случае метрики Шварцшильда энергия, разумеется, совпадает с параметром, характеризующим массу.
