Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вебер Дж. -> "Общая теория относительности и гравитационные волны" -> 61

Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.

Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны — Москва, 1962. — 271 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnostiigravvolni1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 81 >> Следующая


' o<fm _ d'fm \ дх' Or4ij)'

Hd4

а в правой части равенства для it(. — слагаемое

<Ът <L дг?<п

dql дхJ Oqj



[см. выражения (9.66А)]. Тогда уравнения движения (9.67Б) принимают вид

Г I __j9g\

Jj^9i Oxidqu )

дЗЄ

дг'

д д&е

dxJ Or. ^

+

4- и

^ ™\ дг,

К

д ду,п \ 7 дщ,,) !_) /. і 1

дх' Or-Il j д _д$ дх' 0 г.

д д&е

+

и (^m

"I л

\ dIl

dql дхJ dq. j

dxldquj) J

а уравнениям (9.79) соответствует

(9.67В)

(9.79А)

В общей теории относительности роль переменных поля играют величины, необходимые для описания геометрии трехмерного пространства в любой данный момент. Тогда история поля складывается из последовательности искривленных трехмерных пространств. Поэтому целесообразно построить такой канонический формализм, чтобы число необходимых переменных ограничивалось лишь шестью компонентами qtJ и их каноническими импульсами.

14 Дж. Вебер 210

Глава (і

Рассмотрим теперь плотность гравитационной функции Лаграпжа

VzrS = Srixv - ivrpe) y=g = = J V^ggl,, Pge9. а IOr1V - ^1V) Sfa +

+ 2(^^-^^)^1- (9.82)

Соответствующая функция Лагранжа равна J" ^0 У - gd3x. Переменными поля являются здесь ^ ; роль скоростей играют величины g?y,o- Производные gpv.i являются функциями лишь g и не зависят от скоростей g^t0. Импульсы Xrfxv, канонически сопряженные переменным g определяются согласно соотношению

f SZ-O y^gd3x = [ bg^0 d*x. (9.83)

Как показал анализ, величина J^0 У — g не содержит членов, квадратичных по ^rli0l0. Отсюда следует, что компоненты Idi0 будут функциями от gay и g"aV< і, мы обозначим их через f*:

~ Tfev- (9.84)

Выражения для /11 представляют собой соотношения связей. Теперь можно показать, что уравнения движения никоим образом не ограничивают значений ^i0 и что поэтому связи (9.84) относятся к „первому классу". При бесконечно малых преобразованиях координат

метрика преобразуется как

Sv, (*) - (*') = Ig^ = gwb\ V + g.tV, (9.85)

Пусть bf = 1Izix0 — c)2?p( Xі), где ?P(jc') — произвольные функции. Тогда на гиперплоскости X0 = с

8SVv — 0. 8^„о = (g„W + g,tK°)?.

') В этом пункте мы используем систему единиц, в которой 16 TiGIc* = 1. Избранные вопросы общей теории относительности

211

Поскольку Э произвольно, то ясно, что произвольное изменение величии g.Li), о |1е сказывается на g^ или на glji0.

Представляется удобным (следуя замечаниям В. Баргмана) принимать во внимание, что некоторые переменные четырехмерного многообразия пе меняют своей величины на заданной прострапственноподобной поверхности при преобразованиях координат, не затрагивающих значений координат на этой прострапственноподобной поверхности. Такие переменные называются „внутренними" '). Говоря точнее, если производится преобразование координат

JC'11 = F* (ЛГ°, х1, х2, X3),

причем функции Fv^ удовлетворяют условиям Fn (с, jc1, jc2, jc3) = c', F1 (с, jc1, X2, X3) = Xi,

то значения переменных, являющихся внутренними, не изменяются. Таким образом, величины gif — внутренние переменные. Компоненты же gM и g0i не являются внутренними и могут быть произвольно изменены путем выбора функции F0 или отдельных координат.

Можно ожидать, что внутренние переменные поля сыграют основную роль в гамильтоиовой формулировке общей теории относительности.

Мы будем использовать здесь выражения для скобок Пуассона в виде (9.67Б). Тогда

= j (W - W Зз (*' - X).

где через g'tf обозначена величина тензора при X0 = с, X'1, х'2, X'3. '

Дирак указал, что из вида величины Jg0 следует возможность такого ее преобразования, при котором обращаются в нуль Г (V а уравнения движения не изменяются.

Это преобразование состоит в добавлении выражения

д J?0 VzrS = [(Vrr^ff00)l0 -Д,- [(VzrS Sm), (fw]>0

(9.86)

') Соответствующий английский термин „intrinsic". — Прим. перев.

14* 212

Глава (і

к величине JSp0Y g. Интеграл Jajzj0 |/ gd4x можно

записаті, в виде поверхностного, откуда следует, что он не будет влиять на справедливость уравнении движения. Новая плотность лагранжиана J?a V— g после довольно громоздких преобразований примет вид

-SV VrS - j [-L- - erseah) {- 4IVOrtft +

Hgrs. ug"{)-(gra, s+gs*. г) \gub. vgVn~(ga?. b+gb?. a) +

+ g^ ig,?, j [WW9 — giJ +

+ 2 (g^g'4 — g»'g°?) g'j\ j Y- g' (9.87)

где

r^fT-AJ^. (9.88)

Производя операции, указанные в (9.83), с использованием функции Jg* вместо Jg, получаем

W Yz^g == (W-VVft) Г0в6 ogrSi о Y1^g- (9.89)

Отсюда значення для импульсов п" равны

Itw == (eraesb — eTSeab) Peft Y711J- (9.90)

Последнее равенство эквивалентно соотношению

T0eft

V- g = (gragsb - і grsgab) (9-91)

Рассмотрим теперь гиперплоскость л:0 =C и некоторую внутреннюю переменную полей 7], которая зависит от grs и от возможно присутствующих потенциалов негравитационных полей. Сместим поверхность л:1' = с таким образом, чтобы каждая точка л:11 перешла в лг^Н-а^, где величины а^ малы и зависят лишь от х'. Тогда

STi=J ^d3X, (9.92)

причем !• представляют собой функции Xі:

^L = J (9.93) Избранные вопросы общей теории относительности-
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed