Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Xm (q, (9.74)
Мы вновь можем написать
fX*. Fl} +un[lk, ?J = 0. (9.75)
Эти выражения можно использовать для нахождения Um и получить
"т=Um (q, р). (9.76)
Рассмотрение (9.73) и (9.75) показывает, что к выражению (9.76) может быть добавлено любое решение уравнений
Khm'- <PJ ~ 0, Vm [Ь. CpJ ^ 0. (9.77) Поэтому искомое обіцее решение равно
Um = Um +VaVam, (9.78)
') Не следует применять уравнения связей при вычислении скобок Пуассона; иными слонами, в этом случае величины р и q рассматриваются как независимые. 206
Глава (і
где величины Vam ирсдставляют собой систему независимых решений уравнений (9.77).
Здесь в качестве коэффициентов Va берутся произвольные функции времени. С помошыо соотношений (9.78) можно исключить ит, вводя в качестве переменных va. Число их вместе с общим числом независимых величии P1 и ql может оказаться меньше, чем исходное число переменных р и q. Из соотношений (9.78) и (9.72) следуют обобщенные уравнения движения
A= [A, H'] +va\A, cpj, (9.79)
в которых
H' = H + Uaffm, ?а = Vanffm. (9.80)
Формально мы относим связь к первому классу, если скобки Пуассона от нее с гамильтонианом и со всеми и срт равны нулю. Все прочие связи относятся ко второму классу. Другие авторы называли уравнения для срш уравнениями первичных связей, а уравнения ук уравнениями вторичных связей.
Из уравнений (9.73) видно, что скобки Пуассона для <ра и H' равны нулю. Кроме того,
[H', Н] я=; Um' [ср„,', Н\ яй 0. (9.81)
Равенство нулю выражения (9.81) можно получить как следствие уравнений (9.77) и (9.78) после умножения уравнений (9.73) на Um-. С помощью уравнений (9.73), (9.75) и (9.78) можно показать также равенство нулю скобок Пуассона с H' для ik и срш. Поэтому величина H' относится к первому классу. Скобки Пуассона для сра с срш и ^ft Обращаются в нуль вследствие уравнений (9.77). Скобки Пуассона для сра с H равны нулю вследствие обращения в нуль соответствующих скобок с H'. Поэтому величины Cp0 относятся к первому классу.
Мы видим, что уравнение (9.79) построено из функций первого класса H' и сра. Коэффициенты Va произвольны и не ограничены выполнением уравнений движения. Можно видеть, что число произвольных функций времени va в общих решениях равно числу независимых величин первого класса ср. Дирак заметил, что практически мы знаем, какие произвольные функции содержатся в общем решении, так как Избранные вопросы общей теории относительности-
207
это вытекает из свойств инвариантности функции действия. Это позволяет узнавать функции первого класса, не вычисляя скобок Пуассона. Как мы увидим далее, ответ на этот вопрос может потребоваться раньше, чем станет известен гамильтониан.
В случае поля все пространство можно представить себе разделенным на ячейки. Тогда выражения (9.65) сохраняют силу, однако величины qi варьируются при этом лишь в данной ячейке объема Дх. Наш гамильтониан в этом случае равен
S (9.64А)
по ячейкам
Плотность импульса задается равенством
dL„
dq,
(9.65А)
Полагая, что индекс I при суммировании пробегает значения, соответствующие всем переменным, можно записать
H = f (Ktfl-Lp)Cl3X (9.64Б)
и ввести величину плотности гамильтониана §6 с помощью соотношения
&Є = Kfll — Lp. (9.64В)
Из (9.64Б) следует (суммирование по индексу У от 1 до 3):
/ . . dLB dL„ dL„ \ ,
ЪН =SIkK1 Iqi + Яі Ik1 - Iqi - 5 qu ,J d3x =
= /(^-^+^^4)^. (Р.64П
В крайнем правом выражении в (9.64Г) отброшен поверхностный интеграл. Используя уравнения поля (4.8), можно свести выражение (9.641") к
ЬН= J (qt OKt — Ki Oql) d3x. (9.64Д) 208
Глапа 9
Из (9.64Д) видно, что величина JO является функцией qt что можно записать
д&6 J. , OJfi I д&е s , (),.7,?
Г Г / _ I / дсй? <•> \ ?т
J |Д dqi дхJ dqh}) 7i^l Ok1 дх' дг.{~) '
(9.64Е)
В крайнем правом выражении в (9.64Е) мы вновь отбросили интегралы по поверхности. Сравнивая в равенствах (9.64Д) и (9.64Е) коэффициенты при bqt и Siri, получаем уравнения поля
• __ дз$__'
dr.: dx' дт>: I
A J * V (9.66 A)
ld&€_ U?/
dx' dqh'j
Чтобы получить производную по времени от некоторой величины Е, заданной в виде интеграла по трехмерному объему от плотности мы запишем
/ (Sri'г'<9-67А)
Если величины S и JO зависят от высших производных qt и K1, то эти производные также должны быть включены в выражения (9.67Л), (9.64Е) и (9.66А). Используя теперь (9.66А) в выражении (9.67А), а также отбрасывая слагаемые, имеющие вид поверхностных интегралов, получаем
'М. д \ / dae д д,Ж
^ql dxJ д<1і,) I дх'
д& д д& \ і дЖ д д&е
Or4 дх' К дх'
алх.
,,, г Г AE W Ш 3//-1., .„Г7Г.
Это выражение определяет скобки Пуассома для полей. Обозначения функциональных производных, использованные в нижнем правом выражении, применяются рядом авторов. Избранные вопросы общей теории относительности-
209
Если неличина E не задана в виде интеграла но объему от плотности, то ее можно непосредственно свести к такому виду, используя й-функцию.
Если имеются связи, наложенные па qt и Iti, то можно последовать методу, который пас привел к выражениям (9.71). В результате в правой части равенства для qt добавляется слагаемое
