Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
/1 d» у 8*0Рж
3!с5 *
то допустимы положительные значения а. В настоящее время астрономические наблюдения дают для величины рм слишком малые значения, чтобы можно было получить положительную постоянную а. Уилер и Иваненко отметили, что не следует отказываться от идеи о замкнутой Вселенной с положительной кривизной до тех пор, пока мы не достигнем уверенности в том, что наши познания относительно рм достаточно достоверны для исключения этого случая. Обнаружение других, еще не известных носителей энергии может привести к существенному увеличению оценки величины плотности массы — энергии по сравнению с данными наблюдений, использующих лишь видимый свет.
б. Гамильтонова формулировка [26—34]
Все изложение велось до настоящего момента в лагран-жевой форме. Было показано, что из функций (6.4) и (6.10) следуют уравнения поля, а выражение (6.10) позволило написать уравнения Лагранжа в форме (6.14).
В квантовой теории с наибольшим успехом используется гамильтонова формулировка. Лагранжиан L является в механике функцией координат qt и скоростей qt. Гамильтониан
t
Фиг. 15. Избранные вопросы общей теории относительности-
203
же является функцией координат и импульсов и определяется следующим образом:
H = PlQi-L. (9.64)
Импульсы Pi определяются равенствами
= (9.65)
Oqi
Тогда уравнения движения имеют вид
Закон изменения какой-либо другой динамической переменной, например Ь, записывается в виде
b = — -Si -J- —- др-' — — — — b Н]
' Oqi Ot ' Opi Ot Oqi Opi Opi Oqi 1 '
(9.67)
В уравнении (9.67) выражение [b, Н], называемое скобками Пуассона, определяется как
. . ди Ov да Ov [и, f] = -J— ¦
dqu дРк дРк dQk ' Использование такого „канонического" формализма становится возможным в том случае, когда величины р и q являются независимыми переменными в следующем смысле. Не должно существовать связей, т. е. не должно быть предписанных априори соотношений, связывающих их друг с другом ')• Мы видели, что в общей теории относительности
') В лагранжевом формализме такого рода требование соответствует возможности выражения qt через qj и qj. Уравнения Лагранжа
d OL OL =0 dt Oqj Oqj
можно записать в виде
•• O2L OL п
q I -.--;---= 0.
OqiOqj Oqj
Последняя система уравнений может быть разрешена относительно qi лишь в том случае, если детерминант, составленный из O2LIOqiOqj, отличен от нуля. Если же он обращается в нуль, то необходимо использовать процедуру, в основном эквивалентную излагаемой здесь. 204
Глава (і
существуют различные типы связей. Некоторые из них описываются выражением (7.06) в форме системы уравнений, которым должны удовлетворят), начальные значения полей, а также их значения во все последующие моменты времени. Термин „связь" используется также для выражения факта существования некоторой степени произвола в теории, па-пример, группы калибровочных преобразований в электродинамике или некоторых свойств ковариантности. Здесь мы будем весьма близко следовать ходу мыслей Дирака [28, 33].
При построении гамильтоповой формы теории связи могут появиться как только с помощью уравнений (9.65) будут введены импульсы. Может оказаться, что переменные р не являются независимыми функциями скоростей q. Допустим, что существует некоторое число вытекающих из (9.65) соотношений, которые мы запишем в виде
?«(/>. 9) = 0. (9.68)
Дирак называет все уравнения связей и уравнения, выполняющиеся вследствие наличия связей, слабыми уравнениями и записывает их как
fm(P'
Мы используем метод „лагранжевых" множителей. Из принципа действия M — 0, записываемого для вывода уравнений движения, мы прежде всего получим
о/ =: f bL dt = J [ bpfli + Pfiql -MLipt-M. Zqi J dt.
(9.69)
Введем теперь лаграпжены множители ит. Добавим величину - «я,8?™ = -*тЧ- + »/>,] (9.70)
к подынтегральному выражению (9.69) и приравняем сумму к нулю. Если рассматриваются вариации, обращающиеся в нуль на концах пути интегрирования, то уравнения движения получаются в виде Избранные вопросы общей теории относительности-
205
Множители Um япляются функциями переменных р и q. Производная во времени от любой динамической неременной, па-пример от А, дается равенством
А = Чі-+ °гРі P1 = U1. Я] + Um [А, <?,„]. (9.72)
Некоторые из функций tpm описывают действительно произвольные стороны задачи. В этом случае различному выбору произвольных функций соответствует тождественная физическая конфигурация. Дирак назвал такие „связи" связями первого класса и развил систематический метод их исключения. Другие типы связей могут представлять действительные ограничения, накладываемые, например, на допустимые начальные значения. Метод Дирака учитывает также и их. Так как величины срт все время равны пулю, то из равенства (9.72) при подстановке А ерт/ следует:
ItPm'' Я] + Um Itpm/, срш] — 0. (9.73)
Если уравнения (9.73) разрешимы относительно ит, то тем самым решена и наша задача. Если же нет, то уравнения (9.73) могут привести к добавочным соотношениям между величинами P1 и qt типа
