Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
где
dl2 = gl} dx1 dxJ = &2a2 (dxl2 -)- dx^2 + dxз2). (9.43)
Вследствие симметрии можно ожидать, что характер зависимости gtJ от пространственных координат не меняется со временем, так что gt] можно представить в виде произведения функции ?9, зависящей лишь от времени и функции а, зависящей от л:'2 -f- Jt22 -J- х®2 -¦= л2. Здесь хК х2, х3 И величина г2 — безразмерные числа. Нам нужно выразить Избранные вопросы общей теории относительности-
199
PiJ через иннариант кривизны этого пространства. Возьмем искривленное пространство и введем в некоторой заданной точке два вектора Av" и Bv". Тогда величина Ra^ tAaA~tB^Bi будет инвариантом. Другой скаляр равен j —
- ganK?i) AaAtBW, причем тензор g^g?s —gaig^ был выбран из тех соображений, что его свойства симметрии совпадали с соответствующими свойствами тензора Ra^i. Величина Kr, определяемая как
Kp--^--. - - . . (9.44)
* te.igp-g.tgn) AaAtAW К '
также является скаляром. Можно непосредственно проверить, что Kr не изменяется, если вместо А и В взять их любую линейную комбинацию. Эта величина Kr называется рима-повой кривизной. В изотропном пространстве риманова кривизна Kr не должна также зависеть и от выбора направлений векторов Af и В*, так что в заданной- точке величина Kr имеет одно и то же значение при произвольных Л11 и Bv". Таким образом, согласно (9.44), тензор Римана в изотропном пространстве будет равен
Я«Рт» = KflteeTfipPi-?.8^). (9.45)
Мы будем использовать выражение (9.45) для трехмерного пространства. Компоненту /?1213 можно вычислить как из (9.45), так и из (3.48). На основании равенства (9.45) она равна пулю, так что можно записать
Яшз = - -Г1 +1 Srl11*32.2 gu. ЗІ = 0- (9.46)
Здесь использовано ТО обстоятельство, что ^11-^22-^33-Теперь перейдем к координате г с помощью равенства Ojdxi = (дг/дх1)(д/дг). Из выражений (9.43) и (9.46) получим „/ da\2 , а da d2a „
2Ы -byU-aHT2=0- (9-47)
Сравнивая выражения (3.48) и (9.45), можно также получить записі, компонент /?Ш1, Afl221 и R^a- ВЗЯв их комбинацию и исключив с помощью уравнения (9.47) член d2ajdr2. получим
^2(S)2+ -Jr 1 = 0. (9.48) 200
Глава (і
Уравнения (9.47) и (9.48) выражают условия, накладываемые на а и o? требованием изотропности пространства. Решения этих уравнений имеют вид
= (9.49)
с2 + с3г2 ' ~ ^2C12 "
Эквивалентное описание можно получить при следующем выборе постоянных:
1 = ж- (д-5°)
1 -far2 ' ^2
Тогда метрика примет вид
- ds2= (і +ат*у idxV2 +dx2* +dx32)~dx°2 (9.51)
или
— ds2 = -(J^r2)T (dr2 -I- г2 sin2 0 df + г2 dO2) — dxn\ (9.52)
причем мы снова отмечаем, что величина имеет размерность
длины, а г безразмерна. „Радиус" с)1 определяется выражением
* = (9'53)
о
При a > 0 получим
(9-54)
Из выражения (9.54) видно, что множитель a зависит от нашего выбора единицы длины. Когда применяется (9.54), можно использовать координаты, соответствующие значению a= 1. Используя равенство (9.45), получаем для трехмерной скалярной кривизны
= (9.55)
=: 6Kr ¦--- 24a<? (9.56)
Из выражений (9.54) и (9.56) видно, что в случае a== 1 мы имеем дело с конечной неограниченной Вселенной, обладающей положительной кривизной. При a= 0 мы получим „евклидово" открытое пространство, а при отрицательных a — открытое искривленное пространство с отрицательной Избранные вопросы общей теории относительности-
201
кривизной. Теперь предположим, что тензор энергии — импульса— натяжений может быть в хорошем приближении выбран с единственной отличной от нуля компонентой Tm - рмс2. Тогда уравнения поля принимают вид
Roo - уйоо R - 3 [4а + (-^Jr)2] Jr = Optl., (9.57)
R
„ - T SnR = [4а + (?-)' + 2S> = о, (9.58)
а выражения для R22 — V2g22R и для R33 — '/2^23^ тождественно совпадают с последним.
Вычитая одно уравнение из другого, получаем
-,- + ¦--— = 0. (9.59)
dx»2 Зс2
Ввиду положительности как величины рм, так и ^ из (9.59) следует, что функция of не может иметь минимумов и точек перегиба, а также не может не зависеть от времени. В „евклидовом" пространстве a =:0, и из уравнения (9.57) получаем
Для а ф 0 уравнения (9.58) и (9.59) дают id» у 8^2Р„о
\ш) з72---4а- (9-61>
Уравнение (9.58) предполагает, что давление равно нулю. Полная масса M в любой момент времени определяется равенством
оо
m^PmJ (т^У Z-2 dr sin О rfO rf«p. (9.62)
о
Если полная масса сохраняется, то величина $3рм должна быть постоянной во времени. Поэтому мы можем принять (8тг/3с2) 0$3рм — ??0. где — положительная постоянная; тогда получим
(day __ —
(9.63) 202
Глава (і
При ot = —I— 1 мы имеем случай замкнутой Вселенной, для которой зависимость от времени изображена на фиг. 15. При а = — 1 функция а9 монотонно возрастает.
Возможность реализации наиболее привлекательного случая а — -f" 1 может быть исследована, с помощью уравнений
(9.60) и (9.61). Величину
1 dG & dxо
можно вычислить, исходя из астрономических данных о скорости расширения Вселенной, а плотность рм можно также получить из наблюдений. Если выполняется неравенство
