Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь V — обычная трехмерная скорость частицы. С точностью ДО величин первого пппялкя по h символы Кпиг.ТОффеЛЯ равны
Подставляя эти значения в уравнение геодезической, получаем
і dxi dx° , гі J0 ЧГ'ТГ^'1 /*
,72 vi / H vO \ 2 г / „2h \ A j ^
ax' dx° 4' о ~dT ~dT
Используем уравнение (9.32) для исследования движения частицы внутри полой сферы радиусом R и с массой поля М. Пусть эта сфера вращается с угловой скоростью ш по отно- Избранные вопросы общей теории относительности-
193
шелию к наблюдателю, находящемуся ппутри нее. Обозначим через Rs, 0 п <р сферические координаты элемента сферы, а через a, O0 и ср„ сферические координаты той точки внутри нее, где вычисляется величина поля. Через U^ обозначим четырехмерную скорость элемента сферы с точки зрения помещенного внутри нее наблюдателя. Компоненты этой скорости в прямоугольной системе координат равны
U1-=-
IoRl, sin 0 Sin ср
с J 1.....>*R'\S sm 'j/c2
U2 =
о>R sin 0 cos у
с V[ Sin2 IiJci
U3-=O,
U0 = - --1-.... -•:--.. . (9.33)
Y1 — 'O2Zeas SIIi2 О/с2
Предположим, что механические натяжения в сфере малы, так что тензор энергии —- импульса — натяжений приблизительно равен р C2LZ1Y/*. Тогда выражения (7.13) принимают вид
40 г р ,,U'JJ'nPx' Ф,: = -,г T--^rJ--/Т—. (9.34)
ll Ci J I Г — Г| 4
Через Ф^ мы обозначили здесь величину h^v — так
как tp уже означает координату. Имеет место равенство
I г — ґ I =¦ [а1 -+¦ R2s — 2aRs (cos 0 cos O0 -f
-f- sin 0 sin O0 cos (ер — ср0)) ]V«. (9.35) Величина I г—г'I".1 может быть разложена в ряд
За2
-+ sin 0 sin Ou cos (tp -- Cp0)) + (sln 0 sin 0Ocos (cP — cPo) +
-f-cos 0 CosO0)2+. . . j . (9.36)
Величина pM теперь представляет собой плотность' массы покоя элемента сферы, в то время как d3x' есть трехмерный элемент объема в системе покоя наблюдателя. Чтобы выразить результат через массу покоя сферы, заметим, что эле-
13 Дж. Вебер 194
Глава (і
меит объема (1лх" в системе, в котором сфера покоится, связан с d3x' соотношением
ИЗ V-'
d3x" ----- --> а х - - , (9.37)
Vl -(V2je2)
Подставляя (9.37) в (9.34) и производя интегрирование, получаем с точностью до v2jc2
4 GM
Фоо = ^fR-
>.>2R2c, 2ы2<г2 ю2а2 sin2 On 1 + —г: ^ - 4-------
Зс2 15с2 5с2
]¦
4GM Г (O2R2t, о)2д2 sin2 D0 sin2 tf0 Л2! фн = I Зс2"" ^ 5,C2 ' 15 с ^J '
4GM Г W2R2s W2(I2Siii2I)0 cos2 tf0 ю2й2 1
Ф„, = -о м- I —jfcs- H 5с2 15?" J '
4S
(I)33 = O,
4GMw2a2 sin2 A0 cos <р0 sin <р0 's
ф _ 4GMu>a sin D0 sin ^0
(1 _ tiimw-u- sin- M0 tu» <p0 ми f0
(1»I2_ ,rIt-sA' '
'10 ~~ 1Sc2Rs
» __ 4GM<»a sin (J0 cos <p0
20 3c2"/^ '
®30=tf,23 = 0.
4GM Г V2R2I
ф == Ф 11 =__1__і- .
f- C2Rs L Зс2 J
Отсюда можно определить величины h^v как
V = ^-Ivt1- (9-39>
Из выражений (9.38) и (9.39) следует, что значение двух последних слагаемых в правой части уравнения (9.32) на порядок выше, чем (vjc)2, и что и некоторых оставшихся членах можно отбросить множитель dx°/ds. В таком случае уравнение геодезической принимает вид
С2 ig. = V у _ ^lJ + [tF X IV X Л] L (9.40) Избранные вопросы общей теории относительности
195
где V = c2/i0l)/2 и Al = Chni. Полагая теперь х1 = х, X2 = у, X3 = Z и записывая (9.40) в компонентах, получаем уравнения движения часгины внутри сферы
,.d2x GM Г 4 , _ dy Л 0 "ds2 = 3c>fiJ1 5 ШХ ~ 8ш Hfl'
С ds2 ~ 1 Sc2Rs •
Из уравнений (9.40а) видно, что если тело покоится внутри вращающейся сферы, то мы будем наблюдать действие на тело некоторой центробежной силы. Вообще говоря, этот эффект будет малым — он равен умноженному на — GMjc2Rs значению, которое следовало бы в случае такого вращения относительно остальных масс Вселенной. Приведенный результат весьма давно получен Тиррипгом.
Если сфера не вращается, но ей сообщено поступательное относительно находящейся внутри иее пробной частицы ускорение, направленное но оси х1, то из (9.34) и (9.37) следует, что
4GMvc п
A10=®ю=^i=—^—таг- (9'41)
CJ/?S(1 -VsIc1)1'
Здесь Vs — скорость сферы. Тогда из (9.40) для частицы, покоящейся в некоторый момент внутри сферы, мы получим уравнение
d2 X 4GMaч I (о
dt2 C2Rs(I-VllC2)^X с2 ([-V2sIc2)
^sU' (9-406)
-V2IC2) I
В (9.40) через as обозначено ускорение нашей сферы.
Рассмотрим вместо сфері,: сплошное твердое тело массы М, придадим M ускорение относительно малой массы т. Если тело с массой т мгновенно покоится, то его ускорение можно вычислить с помощью уравнений (9.32) и потенциалов
13* 196
Глава (і
(7.13а). Если ограничиться слагаемыми порядка vjc, то ускорение тела т раино
с ^ Rm г ) +
, 4OM / (V-Rm)X 40м /(« ЯМ)\
+«і (1+?^) • +-—(hsf-h <"»•>
Здесь V и а — соответственно скорость и ускорение массы М, a Rm — радиус-вектор от т. до М. Уравнение (9.40в) содержит члены, зависящие от направления ускорения относительно радиус-вектора, соединяющего т и М. Они равны приблизительно величине изотропного эффекта ускорения, умноженной на vie.
Рассматривая (9.40), мы можем заключить, что слагаемое V V включает центробежную силу, связанную с относительным вращением, а член (dx{)lds)2(dA/d/) описывает силы, обусловленные относительной скоростью и относительным ускорением. Член [V X [V X M 1 приводит к корнолисову ускорению. В случае вращающейся сферы величина [V X Л] дает внутреннее ноле, аналогичное магнитному полю внутри вращающейся заряженной сферы. Из этих рассуждений видно, что для Вселенной как целого OMjc2R^ 1, если справедлив принцип Маха.
