Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
О = F^- v = (Vv;v -f Tv cos a + (VV — E1" sin a,
(9.13a)
0 = V71";, = ( — , — V sin a ; («Г;.. — ^v 7г"т) cosa-
(9.136) 185
Эти уравнения можно привести к пилу
Ir-O (9.14а)
w-fj.v
" 5 дх<
(9.146)
Тензор напряженности поля Максвелла удовлетворяет тождеству
V - vV^va = і <9Л5>
Умножая (9.14а) на *;Р|1, а (9.146) па ^jt и используя (9.15), получаем
да +S^V
fix' ~
(9.16)
Задача заключается теперь в том, чтобы выразить тензор напряженности поля Максвелла через тензор Риччи и записать, таким образом, уравнения (9.16) в геометрических терминах.
Для удобства введем новый тензор четвертого ранга, построенный из тензора Риччи таким образом, чтобы он обладал свойствами симметрии тензора Римана. Новый тензор EJ* определяется как
EJ- = 4 (- W 4- VP: - KRJ' + KR/). (9.17а)
причем
= (9.176)
Рассматривая напряженность предельного максвелловского поля в лоренповой системе координат, можно убедиться, что справедливо равенство
с*
7J — — — (9.18а)
Это уравнение является тензорным; следовательно, оно справедливо, в общем случае.
Можно также показать, что
-?-^зЛ - (Rjrf-(- ^ll, + (9.186) 186
Глава (і
Разрешая (9.18а) и (9.186) относительно EllJat, получаем
"^rr VV'OT == Y^Vvtrt 2 ^ J-vT^o-'8' (9-19)
Определим теперь тензор Z7ct37J как ^aP 7« — "2" V S eTS Iiv^a311 =
= і V~g SalXV (W - SpvO (9.20)
И ВЫЧИСЛИМ произведение /7ар7г?Т''3";
р DT1'!1* _ _ с -tW*- -Р* J 5 *г?т ) / G \2
iT- "' Vv' V I'T's?' I Vl c( J -
= ^ ^ (W> ^ ' = T ^9-21)
Из уравнений (9.5) и выражения для тензора 7" через Z7fiv следует соотношение (9.12)
Сравнивая (9.21) и (9.16), мы видим, что уравнения (9.16), полученные из уравнений Максвелла, можно переписать с помощью тензора Риччи в виде
да RxI- W ,--
TJ='^-RjF- V~«- т2)
Так как величина, стоящая и (9.22) слева, есть градиент скаляра, то ротор от нее равен пулю. Отсюда следует соотношение (9.7)
а, ;ч. = я, і?-
Гхлп тензор Риччи задан, то соответствующее поле .Максвелла (с точностью до поворота дуальности) можно найти следующим образом. Будем использовать уравнения (9.22). Выбирая некоторую начальную точку отсчета, вычислим
ж
я (X) -- J OL1 ., dxil 4- я0.
P
Поскольку ротор от я, равен нулю, это выражение не зависит от пути интегрирования; постоянная я0 произвольна. Это Избранные вопросы общей теории относительности-
187
значение а можно использовать далее для определения F„4 .= е*а; так как величину ї|іл, можно вичислить в любой точке с помощью (9.19). Уравнения (9.22) теряют смысл в случае пулевого поля. Другая принципиальная трудность состоит в том, что допустимые значения геометрических величин па начальной гиперповерхности могут соответствовать более чем одному значению тензора .Максвелла [G]. Эта неоднозначность, например, имеет место в случае локализации первоначальных максвелловскнх полей в двух отдельных областях. Поворот дуальности, производимый в одной из этих
областей, приводит к изменению физической картины, но может не сказаться на геометрии в течение конечного промежутка времени.
Уилер отметил возможность описания зарядов, допустив существование многосвязиых областей с неевклидовой топологией. Построенное из этих соображений схематическое изображение пары зарядов иллюстрируется фиг. 14. Такая теория эквивалентна теории в пространстве с евклидовой топологией, учитывающей существование зарядов. Мизнер отметил, что полное число силовых линий, проходящих через такую топологическую „ручку", является интегралом движения.
Уилер рассмотрел также стабильные решения системы уравнений Максвелла и Эйнштейна. Его „геоны" (гравитационно-электромагнитные образования) представляют собой объекты, имеющие массу и образованные полями, сдерживаемыми воедино собственным тяготением [7].
Фиг. 14. 188
Глава (і
2. Уравнения движения
Как заметили в 1927 г. Эйнштейн н Громмер [К|, уравнения движения системы масс уже содержатся в уравнениях гравитационного поля и поэтому не требуют отдельного постулирования, как в электродинамике. Бергманп отметил, что связи, накладываемые на возможные движения, являются следствием соотношений типа тождеств Бианкн. При этом нелинейность приводит к законам движения типа законов Ньютона. Существует обширная литература, посвященная выводу уравнений движения и связи их с проблемой излучения и с законами сохранения. Мы хотели бы подчеркнуть, что в приведенных выше методах, предлагаемых для обнаружения и генерирования гравитационного излучения, используются как гравитационные, так и электрические силы. Поэтому выводы, основанные на рассмотрении уравнений движения и проблемы излучения только для гравитации, моїуг и не соответствовать результатам настоящей главы.
Следующий анализ уравнений движения принадлежит В. Фоку [9]. В нулевом приближении пространство считается плоским и используется метрика Лоренца. Тогда тензор энергии ¦•--импульса — натяжений можно взять в виде
Tw ^ P „с2. T^i .? р CVi (9.23)
ж м ^ '
(латинские индексы пробегают пространственные значения). В этом приближении P1''; I1 :? Tolii ^ и
