Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вебер Дж. -> "Общая теория относительности и гравитационные волны" -> 53

Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.

Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны — Москва, 1962. — 271 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnostiigravvolni1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 81 >> Следующая


Любопытно, что общую теорию относительности уровня 1916 г. и классическую теорию электромагнетизма можно выразить с помощью одной лишь геометрической величины P1jiv, пе изменяя физического содержания теории. Эта частичная геометризация1) была произведена Рэйпичем |3] в 1927 г. и недавно развита Уилером и Мизпером [4, 51. Допустим, существуют лишь гравитация и электромагнетизм, а зарядов нет. Максиелловский тензор энергии — импульса — натяжений (4.15) удовлетворяет соотношениям2)

>) Тензору Максвелла пе дается геометрического истолкования. Его исключают из уравнений, выражая тензор энергии — импульса— натяжений Максвелла через

г) Соотношения (9.1) и (9.2) непосредственно следуют из(4.1">). Для вывода (9.3) и других уравнений этого параграфа очень полезно использовать следующие соотношения. Обобщенный дельта-символ Кронекера S;"?' можно определить через плотность тензора Леви-Чииита следующим образом:

Отсюда видно, что обобщенная кронекеропская дельта меняет знак при перестановке любой пары верхних, либо нижних индексов и обращается в пуль, если одно и то же значение индекса повторяется более одного раза в верхней, либо в нижней группе индексов.

Большинство авторов полагает E0123=I и E0is3=I. Следует проявлять осторожность, используя в одном и том же расчете

T^ - О, Tm > 0, _

т/г; a\j' vv\

(9.1)

(9.2)

(9.3)

I RaIj- B1I* В 8хи- 182

Глава 7

Записав уравнения гравитационного поля в виде

D V _ 1 й , о = ifo т V

% 2 > с1 V-суммируя по индексам и используя (9.1), получаем

R = O, (9.4)

так что уравнения поля примут вид

Rv, =T^. (9.5)

Из равенств (9.3) и (9.5) следует, что

RJiRS = ^oafRJ?'- (9.G)

Геометрические соотношения (9.4) и (9.6) справедливы для любого гравитационного поля, источником которого является поле Максвелла с дивергенцией напряженности, равной нулю. Гарантию того, что антисимметричный тензор, из

и е°?Г'. Если мы определим тензор "Zrli-,, дуальный тензору Zrfv,, как tZrIi-, = ~2 V'0? ( ^r) ^ ^ ^ ¦

то

Отсюда непосредственно видно, что при использовании е'Зг5 мы должны во избежание противоречий с приведенными выражениями положить

tF*'= - ^ ^"Ч-gr'llFav-

Эти выражения позволяют установить следующее тождество, имеющее силу для любых двух антисимметричных тензоров в четырехмерном пространстве:

AmB^ - *А11а*В'а = ~ VA3Z^ -

Полагая А — В и взяв в качестве А тензор электромагнитной напряженности, можно записать максвелловский теизор энергии — импульса — натяжении в виде

Та — _!_ Г*Р JLfcaP F1*!.

1V — 4те L 11 4 * J

Умножая это выражение на тензор Tj в форме (4.15), получаем (9.3). Избранные вопросы общей теории относительности-

183

которого построен T1^ (и /? ,), действительно удовлетворяет уравнениям Максвелла, дает новое дополнительное соотношение

Е3>.

^1R1T- v R^V-K

^RkT' V RJ V-К

(9.7)

Ra,Rit

Уравнения (9.4), (9.6) и (9.7) полностью описывают гравитацию и электромагнитное поле в отсутствие зарядов. Доказательство равенства (9.7) несколько громоздко; мы проводим его, следуя Мизперу и Уилеру.

Нам понадобится тензор, дуальный тензору электромагнитной напряженности Z7liv и определяемый здесь как

^,V =4 VzrI^r'- (9-8)

Определим также операцию ет

е*аFv.-, = Fv, cosa + sin a- (9-9)

Мы будем говорить, что преобразование (9.9) осущест-

' '). Определим также Sjiv

вляет поворот дуальности тензора F '). Определим также с

как тензор

V = *-"/> (9-Ю)

соответствующий повороту дуальности на угол — а.

Посредством соответствующего выбора значения я из Z7114 можно получить тензор, обладающий более простыми свойствами. Рассмотрим инварианты

J j (Fa? cos =C - *Fa? sin =O2 =

= Y FajFatl COS 2a — sin 2a (9.11a)

и

j = J FafF'7 sin 2a +1 cos 2a. (9.116)

') Тензор, дуальный дуальному тензору, равен исходному тензору, взятому с обратным знаком, но той причине, что детерминант g отрицателен. Операция перехода к дуальному тензору соответствует повороту дуальности на угол г./2. Существенно отметить, что

V*/',J = «*'*/>.

Кроме того, из предыдущего примечания вытекает равенство

C1 /гяЗ _ ф P * /raft

г<і'У — — г • 184

Глава (і

Вспомним, что величина (9.11а) равна H2— E2, а величина (9.116) равна 2 (?•//), если обозначить через EwH электрическую и магнитную напряженности, соответствующие тензору S0l4 в лоренцовой системе отсчета. Выберем угол а таким образом, чтобы величина (9.116) обратилась в пулі,. Тогда другой инвариант равен

.1 - _ .и г/1 р р*>\2 ,(Ip 1?_

2 -a?- — - I ^ 2 ' <*Pr ) T ^ 2 I Jj- ^

^. + JLyiiJr. (9.12)

Ограничимся в дальнейшем условием, что угол а берется в квадранте, соответствующем отрицательному знаку правой части равенства (9.12). Поле Ia^, удовлетворяющее этим требованиям, называется предельным полем. Соответствующим выбором лоренцовой системы его можно превратить в чисто электрическое иоле. Такое предельное поле удобно при проведении выкладок. До конца этого параграфа мы будем понимать под предельное поле. Любое другое поле может быть получено пз SjaJi посредством поворота дуальности и изменения масштаба. Используя формулу (4.15) для тензора энергии — импульса — натяжений поля Максвелла, можно показать, что все компоненты 7'ч„ остаются неизменными при поворотах дуальности. Исходя из заданного вида тензора R , обусловленного полем Максвелла, невозможно однозначно определить величину напряженности максвелловского поля, однако можно найти ее с точностью до постоянного множителя и операции поворота дуальности. Удобно записать уравнения Максвелла через , а затем добавить к ним другие выражения, квадратичные по и выражающие этот тензор через R . Это приведет тогда к (9.7). Уравнения Максвелла принимают вид
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed