Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
175
вой метрики составляют примерно 1 : IO30. Вспомним решения в случае слабого поля
V = V - 7 Vа «¦IT f TT=TT*3*'- (8.53)
Чтобы применить (8.53) к задаче излучения волн кристаллом, мы прежде предположим, что используется акустический резонанс и возбуждаются одномерные волны сжатия. Тогда компоненты тензора T ' будут равны
T00 .?-рд,с2(і —cos ait cos ZesJC3) [ 1 — U (X3—Z-Л0 cos <»/) —
-- U (— X3 — Z — /I0Cos (и/)], (8.54)
T03 ^ pMVpc sin о)/ sin AaJC'1 [ I — U (х3 — Z — Aq cos u>/) —
— U (— je3 — /-H0cosu)/)], (8.55) T33 :? — рMVpvs cos wt cos Ai-Jf3 [1 — IJ (x3 — Z — Aa cos cu/) —
— U (— X3 — Z — Alj cos to/)]. (8.56)
В этих выражениях предполагается, что волны распространяются в направлении оси х3; Vp— скорость частицы, Vs — скорость звука и U— ступенчатая функция, определяемая соотношениями U (х) — О при X < О и U (х) -- 1 при X > 0. Величина Au представляет собой амплитуду колебаний на свободном конце. Подставляя эти выражения в (8.46) и используя эйнштейновский вид псевдотензора энергии — импульса ^— натяжений, можно вычислить полную излучаемую мощность. Максимальное значение /I0 определяется максимально допустимым напряжением, еще не приводящим к разрушению стержня.
Для кварца при акустическом резонансе получим
P . 1(Г6]ш +
+ [^Ор^ч^'-У. ю-,2]2ш. (8-57)
В соотношении (8.57) S означает площадь поперечного сечения; слагаемое с индексом «> дает мощность излучения на основной частоте, второе же слагаемое дает мощность, излучаемую на частоте, удвоенной относительно основной. Резонатор должен иметь длину, кратную с коэффициентом /гх полудлине акустической волны. Первое слагаемое в соотпо- 176
Глава (і
шении (8.57), очемидпо, не зависит от пх. Это обусловлено тем, что при rix > 1 кристалл представляет собой по существу систему электрических квадруполей, где каждый данный квадруполь сдвинут по фазе относительно своих соседей. Результирующая основная частота излучения приблизительно совпадает в этом случае с частотой отдельного квадруио.ш. Каждый участок длиною и половину волны обладает эквивалентным импульсом MA0Kj2r>, где M --- масса отдельного полуволнового резонатора. ГЗеличипы A0 и л, определяются равенствами (8.54) — (8.56). Если большое число отдельных резонаторов сосредоточено в области, линейные размеры которой меньше половины длины гравитационной волны, то излучаемая мощность будет пропорциональна квадрату полного числа кристаллов. Чтобы излучать па основной частоте IO"1' эрг/сек, потребуется IO6 кристаллов, каждый из которых должен быть толщиной в половину акустической длины волны и обладать поперечным сечением, равным 50 см1. Для управления установкой потребовалось бы сложное устройство, регулирующее фазы.
Представляется более удобным подавлять акустические резонансные колебания и создавать с помощью пьезоэлектрического эффекта или электрострикции компоненты механических натяжений, которые не меняют знака каждый полуиериод акустических колебаний. Чтобы убедиться в осуществимости этого способа, необходимо исследовать приведенное в литературе [8] решение для компоненты Tu натяжения в продольно колеблющемся кристалле, грани которого, перпендикулярные оси X3, покрыты проводящими обкладками. Для простоты предположим, что толщина кристалла невелика и что он возбуждается под действием приложенного извне электрического поля, параллельного оси х3. Тогда компонента Tn равна
о >(/, — Х) , WX . <•>/-
v 1 • sin —•— sin-
Г.. = «.-^шдау-1^siniu'- (8'58)
Здесь dij — тензор, связывающий натяжения с электрическим полем, ЕЛ — электрическая напряженность в направлении оси л3 и L—полная длина. При резонансе U так что в (8.58) следует учесть потери, вводя в знаменатель гиперболическую функцию. Однако вне области резонанса, Детектирование и генерация гравитационных пп.ін
177
например при Liajvs = Tij2, выражение (8.58) принимает вид
rH а'яЕз (cos "I- sin — 1) sln (8-59)
Мы видим, что величина (8.59) содержит слагаемое — sin u)/\ не изменяющее своего знака через каждый полупериод акустических колебаний. Одиночный большой кристалл, возбуждаемый таким образом, даст тогда большой интеграл по объему от компонент натяжений. Излучаемую мощность можно полагать равной
Г.П2 J4jr2
(8.1Ю)
В соотношении (8.60) Рмакс. — эффективное растягивающее усилие в дин/см% а X — снова длина гравитационной волны. Другой способ состоит в использовании электрострикцни в твердом теле или в жидкости. В случае жидкости следует использовать область, сторона которой сравнима с половиной гравитационной длины волны. Тогда пространственные производные напряженности электрического ноля возбудят электрострикционные натяжения. Излучаемая мощность имеет величину, близкую к (8.60).
Кристалл со стороной, равной 50 см, может излучать волны длиной 1 м. Кристалл, возбужденный до уровня, предельно близкого к точке разрушения, будет излучать 10~и эрг/сек, если принять величину Рмакс- соответственно опубликованному статическому значению. Это соответствует выходу 100 000 гравитон/сек. Одиночный кристаллический детектор рассмотренного выше типа позволяет обнаружить мощность порядка 10_! эрг/ceic на указанных длинах воли. Таким образом, все еще существует большой разрыв между возможностями генерирования и возможностями приема в небольшой лаборатории. Сложные принимающие и генерирующие устройства позволяют уменьшить этот разрыв. В кристаллах, возбуждаемых вблизи предела разрушения, требовалось бы рассеивать большие электрические мощности-— вероятно, до IO8 вт на 50-сантиметровом кристалле. Расход мощности нетрудно было бы существенно снизить, если бы удалось работать в режимах низких темпе-
