Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
У 2 — Рит -НГ ~ ь c'''M!i\m- (8.34)
Здесь рм — плотность массы, у—соответствующий модуль и Ь — постоянная, характеризующая затухание. Допустим, что происхождение величины R1ino связано с падающими синусоидальными гравитационными волнами, так что
/*'<"" "3A (8.35)
В формуле (8.35) индекс /г пробегает значения от 1 до 3. Обозначим через Vs скорость звука |/у/рм, а через Is длину звуковой волны; тогда ks = 2-/Хт, а Л/2о и ^ — -Iks. В этом случае решение (8.34) с достаточной точностью имеет вид
О = [A1 Ch -(х' — /оГ VV*] еы. (8.36)
Смещение, точек относительно центра масс кристалла, обозначаемое через I, можно вычислить путем интегрирования (8.36) по х]:
? = Ia sh T-V1 — -~--2-(1 — е-i^x')] eimt. (8.36а)
'.1Iui J
Используя граничное условие обращения 0 в нуль на краях кристалла, получаем
f cos Я,/ 1G6
Глава H
В формуле (8.37) через І обозначена полудлина кристалла. Первое слагаемое в (8.36) описывает вклад со стороны акустических волн '), второе же слагаемое дает значения деформаций, соответствующие случаю отсутствия каких бы то ни было внутренних сил. Выражение (8.37) необходимо модифицировать, если кристалл пьезоэлектрический.
Величина (8.37) становится максимальной при kj~, пропорциональных т/2 с нечетным целым коэффициентом пропорциональности. Однако из знаменателя видно, что наибольшим является первый максимум, полная длина которого равна половине длины акустической волны. Система, образованная двумя массами и пружиной (см. фиг. 11), должна описываться уравнением пнда (8.34), если расстояние между массами приближается к половине акустической длины волны. Ясно, что наибольшее значение, которое может принимать сечеш е (8.28), соответствует случаю, когда г равен половине длины акустической волны в пружине. Это — важное ограничение, так как скорость акустических волн приблизительно на пять порядков меньше, чем скорость света. Поэтому сечения (8.28) оказываются па десять порядков меньше, чем они были бы при распространении упругих сил в пружине со скоростью свега. Существует ряд способов преодоления этого ограничения. Можно было бы передавать возвращающие силы с помощью электрических и магнитных полей, т. е. со скоростью света. Можно также использовать пьезоэлектрический эффект, при котором поляризационные заряды на краях
') Анализ равенства (8.36а) показывает, что прибор, помещенный на поверхности Земли, ведет себя так, как если бы он находился в состоянии свободного падения. Ибо рассмотрим влияние гравитационных волн па внутренние движения Земли, применяя (8.36а) к случаю собственных видов колебании самой Земли: первое слагаемое справа описывает акустические волны, прочие же члены дают движение в отсутствие взаимодействий. На основании (8.37) отношение этих слагаемых равно
fi,c> 2A Xs Vs ~~~f ~ ~Ы = с (а/) '
Отношение скорости звука к скорости света составляет около 10-п и намного меньше произведения длины и коэффициента поглощения звука в массе Земли, обозначаемого через а. Эти соображения применимы лишь в случае гравитационных волн, длины которых сравнимы или короче радиуса Земли. Детектирование и генерация гравитационных пп.ін
165
кристалла могли бы вызывать появление таких компонент натяжения, которые не меняют знака в каждый полупериод акустической волны.
В пьезоэлектрическом кристалле деформация вызывает электрическую поляризацию P , равную
P
Здесь S0^ — тензор пьезоэлектрических натяжений. Электрическая поляризация приводит к появлению в кристалле электрического поля. Его суммарное значение дает разность потенциалов на границах, которая достаточно велика для того, чтобы ее можно было обнаружить с помощью радиоприемника, обладающего низким уровнем шумов. Измерение такой разности потенциалов дает при соответствующем подборе характеристик кристалла величины компонент тензора Римана Riojo.
Система натяжений существенно изменяется при использовании пьезоэлектрического кристалла. Тогда в уравнение (8.33) следует ввести новые слагаемые, зависящие от пьезоэлектрических постоянных. Мы рассмотрим здесь очень простой пример. Пусть возбуждается лишь одна продольная частота и волна распространяется в направлении оси х' со скоростью звука. Пусть толщина кристалла в направлении осп X2 будет мала, а его поверхности, перпендикулярные оси X2, покрыты проводящими обкладками. Законы пьезоэлектрической поляризации имеют вид [41
Dl і
п =1I-г- т.
(8.38)
В формулах (8.38) Т— натяжение, К—диэлектрическая постоянная, О — деформация, K0—модулі, упругости, E -напряженность электрического поля и D—электрическая индукция. Предполагается, что DuE имеют только компоненты вдоль оси je-. Пьезоэлектрическая постоянная // связывает напряжение в разомкнутом контуре с деформацией. Из уравнений (8.38) и уравнений движения элементов массы 168
Глава (і
и кристалле следует, что справедливо волновое уравнение вида (8.34), причем
Так как поверхности кристалла, перпендикулярные оси х-, покрыты проводящими обкладками, то дЕ/дх] = 0. На свободных концах кристалла 7"— 0. Если кристалл связан с некоторым внешним импедансом Z1 то можно записать
