Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Используя уравнения поля ,6.14), можно записать d{&0V=g) _ Ir _1 r\ с4
L agf'n J,T >
Дальнейшие преобразования (6.40) можно упростить'), если принять во внимание, что получаемое выражение не может содержать производных вида Taiuii 3> так как величина Ji3aV—g че содержит таких производных. Таким образом, в правой части (6.40) эти производные должны взаимно уничтожиться. Мы получим
16*0 d(^QV=g) _ ( „
C4 Ogt" 'Г «т
-+ Y (f?T^v -1Tplip) (ЙГ..Г1,,,, 4- gyгJ -
- Ц?- } VzzJ. (6.41)
Вернемся к исследованию свойств канонического псевдотензора энергии — импульса — натяжений T1/, определяемого равенством (6.15). Аналогично (6.1) запишем
^ff / V0 VzzId3X = - J T1/ Vz7JdS, (6.42)
В случае изолированной системы, вблизи границы которой ^liv достаточно быстро приближается к лоренцовой метрике, а тензор TJ отличен от нуля лишь в конечной области, поверхностный интеграл в правой части (6.42) обращается в нуль, и интегралы
Л, = 7./4° VzzJd3X (6.43)
') Этот путь, предложенный Мс'ллером, гораздо проще, чем непосредственные вычисления. Если в качестве основных переменных взять и g1", то gp., выражается через ga g.^ а может быть выражено лишь при использовании как g"> г|ак и Законы сохранения
10<>
оказываются независящими от времени (т считают повсюду регулярным). Из равенства (6.32) следует, что все системы, для которых величина
одинакова на окружающей их замкнутой поверхности, обладают одними и теми же значениями P . При преобразованиях Лоренца величины Tii0 преобразуются как компоненты 4-тепзора, поэтому P^ преобразуется в этом случае как 4-вектор энергии — импульса специальной теории относительности [13].
Вычислим теперь величину —P0 для шварцшильдовской частицы и покажем, что она равна Mc. Для этого сначала произведем преобразование координат
,/. . GM \2
r=r41+w '
(6.44)
, 1 Г/ , IGMr \Va , OAf 1 4 '
Координаты г', 0, ср и t называются изотропными. Метрика Шварцшильда (5.13) принимает вид
_ rfs2 = (1 + 2?^)4 + г'2 + г'* sin2 6 rfcP2) -
Г 1 С2Ш2 (6 46)
L 1 +(GM!'2c2r') J ^d-*0'
Вводя теперь
X2 —(-• у1 —)— Z2 = г'2, X Г' COSCP sin О, у г' sin ср Sill О, Z -- г' COS О
и полагая, что г' очень велик, можно записать (6.45) в виде — ds1 —> ^ 1 + )(<,*»+^ + (і
(,6.46) 108
Глава (і
Заметим, что все величины повсюду регулярны, так как внутри тела, создающего гравиташ очное поле, справедливо внутреннее решение Шварцшильда.
" Тогда из (6.46), (6.39), (6.43) и (6.32) следует, что
— P =Mc = -^, (P1 = P2 = P3= 0),
0 с 1 2 J (6.47)
E0=Mc2.
С другой стороны, если бы мы использовали метрику Шварцшильда (5.13) непосредственно, мы бы получили
E0 = -CO. (6.48)
Бесконечная величина энергии получается также, если пользоваться метрикой плоского пространства
— ds2 = dr2 + г2 (tfO2 + Sin2 9 d(p2) _ с2 dt2. (6 49)
Эти результаты не неожиданны, так как т * не является тензором.
Мы видим, что законы сохранения (6.15) и (6.16) дают четырехмерный вектор энергии—-импульса лишь при вполне определенных условиях. На пространственной бесконечности метрика должна достаточно быстро стремиться к лоренцовой, причем необходимо использовать конкретный вид метрики (6.46). Последовательная интерпретация t0 как плотности энергии невозможна, поскольку смысл имеют только интегралы от нее по объему. Преобразования координат, производимые внутри области интегрирования, изменяют значения внутри этой области, однако не оказывают влияния па интеграл но объему, вычисленный в системах координат, для которых верпа асимптотика (6.46). Энергия фигурирует просто как коэффициент при величине 2G/cV в выра е-НИИ (6.46), поэтому все системы, для которых В форме (U.40) коэффициенты одинаковы, имеют одинаковые величины энергии независимо от способа их внутреннего описания.
2. Другие законы сохранения
Законы сохранения типа (6.17) констатируют неизменность во времени некой величины. В данной системе координат может и ие существовать простой формы связи между этой сохраняющей величиной и плотностью энергии. Выра- Законы сохранения
10<>
женпе (6.16) оппсывает лишь один из классов псевдотензорных плотностей, удовлетворяющих законам сохранения. Добавление к IjY—g любых величии, обычная дивергенция которых обращается в пуль, не нарушает закона (6.17). Этот произвол в определении /J был использован Ландау и Лифшицем [6] для получения сохраняющегося симметричного нсевдотензора /С'" н МСллером [8] для получения величины, пуль-пуль компонента которой ведет себя как скаляр при преобразованиях координат, не касающихся оси времени '). Для получения этих результатов удобно [7] ввести величину U11^, антисимметричную по индексам о и v. Символ в виде ломаной черты часто используется для обозначения такой антисимметрии. Канонический псевдотензор энергии — импульса — натяжений может быть записан через CZjl" в виде
V VrzzJ = (6-5°)
Он удовлетворяет закону сохранения (t v у — g ),v = О вследствие антисимметрии U JJ. Искать выражение2) для IJjJ можно, исходя из (6.32) и замечая, что оно должно отличаться с/т
