Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
и, пользуясь (4.10), полный канонический псевдотензор энергии — импульса — натяжений ^v можно определить как ')
д (S? V=I)
гравитационная часть которого равна
д [JTaV=K)
t;V.....g^ к у о V^-Sf ^
Og1
р?
(6.15)
(6.16)
(V V- /г),V(V V- g -jT т; V- g). V = о. (6.17)
Интересно отметить, что уравнения (6.13) и (6.14) выражают эйнштейновские уравнения гравитационного поля в форме уравнений Лагранжа.
Более поучительным является вывод величины (6.15) из иных соображений, а именно из свойства инвариантности Jjf относительно некоторых преобразований координат. Вспомним, что в физической теории законы сохранения связаны с определенными свойствами инвариантности. В механике, например, сохранение энергии связано с инвариантностью гамильтониана относительно сдвигов по оси времени, а сохранение момента импульса — с инвариантностью гамильтониана относительно вращений.
') Заметим, что выражение (6.15) неполно. См. также равенство (6.32) и вывод из (0.33). — Прим. перев. 102
Глава (і
Произведем бесконечно малое преобразование координат '):
X'* = H-Bjcm-. (6.18)
Из общего закона преобразования тензора gx" следует его изменение при преобразовании (6.18):
а/11 = Г -А ^ + йГ-рг ^x = g(*') - g* (*). (6.19)
ох ох
bg** _- ^'"V) Ogrtx (X) _
дх'* дх?
8^ = д-ф- + -jf?- (6.21)
Это вытекает из того факта, что Lf является скаляром, так что ILf = 0. Используя (6.19) и (6.20), получаем
dg*8 + Є " ^f.,
X
X (8*11),,+ 2 4?-^(В*"),, (6.22) dg , а
Можно записать
1 d(jr0V-g , 1'
+ (6-23)
,/¦----. П Oil!
V — g dg ^^
Здесь мы снова использовали равенство dg = —dg*". Отметим, что V—g не зависит от ^ Подста-
') В этой главе используется символ 5 в том смысле, в каком он применен в (6.18) и (6.19). Некоторые авторы вводят также символ 5, обозначающий операцию
V = 4"41 (X) - /" (X) = 8Jt*' " + \ Законы сохранения
10<>
новка (6.23) в (6.22) дает
о (J^0V=I)
Фл?) V-g-
о? _ VU17\ T
(5*")., 4-
"*г z T^V- S , з — S '. р.
T1 О » P л 1
Ogr . р ¦,
+ 2 ^ s ^ (6 24) <>g , а
Величина J? инвариантна относительно линейных преобразований координат; в этом случае последнее слагаемое в правой части (6.24) обращается в нуль и 8Jg должно исчезнуть. Отсюда следует, что члены, стоящие в скобках,
должны давать нуль, т. е. что 2 a v
+ ^^)^...0. (6-25)
^g , ? ' dg ' . V
Так как (6.25) не зависит от Ojcli, то оно является тождеством. Поэтому для общего случая преобразования координат (6.24) можно записать в виде
(5-20 Vr=7I = 2 ^P^Zil .. (6.26)
ds ,,
Так как при любом преобразовании, не приводящем к каким-либо изменениям величин на границах области интегрирования, поверхностные интегралы равны нулю, то можно записать
й { KlfaG ) R + Ч V=7J^ = 8 / V=I^- (6.27)
Левая сторона равенства (6.27) обращается в нуль, ибо этот интеграл есть скаляр, поэтому для правой стороны равенства получим
й J V — g <1*х =
= / V=J>'*-f / .^(V=rJrf4*) = о. (6'28) 104
Глава 6
Второй интеграл справа в (6.28) равен нулю, так как произведение У—gd4x дает скаляр. Тогда при учете (6.26) равенство нулю первого интеграла равносильно тому, что
/
d(j?aV-g) Og* Л
gn(fix*),4illd*x = 0.
(6.29)
і
Равенство (6.29) можно записать в виде
-(«А. X
д( И
М..-Ц4—iV
dg
X
a [JT0V-а)
Og'
g
d*x = 0.
(6.30)
Первое слагаемое в (6.30) можно преобразовать в интеграл по поверхности, который опять исчезает, когда oje'1 и их производные достаточно быстро стремятся к пулю па границе. Интеграл, оставшийся в (6.30), может быть вновь преобразован в сумму поверхностного интеграла, обращающегося в пуль, и объемного интеграла, который при произвольных йл;11 дает
Os: '
0.
(6.31)
Уравнение (6.31) определяет сохраняющуюся величину
V VrzrF = (V + V) Vr=rJ -¦= -
dg ' , а
(6.32)
которая имеет форму обычной дивергенции. Равенство (6.32) весьма полезно при вычислениях.
Теперь, умножая уравнения поля (6.13) на gxv и записывая первое слагаемое как разность двух величин, мы можем снова получить выражение (6.16):
g
OijrV-g) Og
оЦУ-V
X g", а — ?
^X
" 0 (-f/' V-T) dg*
— 0. (6.33). Законы сохранения
10<>
Пользуясь (G.25), дифференцируя по Xv и учитывая равенство (6.31), приходим пеиосредствепно-к выражению (6.16) для t*. Найдем выражения для величии
Q(^0V=I) o (JT0Y=J) он*, і оГ
которые потребуются нам в дальнейших вычислениях. Рассмотрим прежде
= * 1 - +г -og^rr'( }
Используя (3.73) и (3.74), получаем
1
-T-^T-=-T^A1- (6.35)
Og- ,у
Исходя из равенства (1 — 0 ra(ivgr?' r3|lvg"»\
полагая в нем [5 = и и учитывая (3.74), придем к равенству
./ p-m ^ot \
-fcrf-= - T<V3.7-H/y> + ім,-
Из полученных соотношений следует, что
^VV _ і -,ті „ ¦
+ I1VJ- Y (ЗрЧт +W> +-^%,] • (f,-;
Тем же методом, которым получено выражение (6.36)-находим
Из (6.10), (6.37) и (6.38) имеем
^f^ - •{ - rV+1 от, - /г'гд +
Og , 1 < 106
Глава (і
