Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Производя замену W-Xfr и дифференцируя (5.29) по получаем с помощью (5.11)
+ (»-30,
Уравнение (5.30) можно решить методом последовательных приближений. Пусть шварцшильдовский радиус равен р = 2ОМ/с2 и пусть
= рГ,2)+ • . .. (5.31)
где сДГ(1>—величина первого порядка, a plF® — второго. Подставляя (5.31) в (5.30) и приравнивая нулю по отдельности члены соответствующих порядков, получаем уравнения
-??^'1" +"(Г")'- (5.33,
Решение (5.32) имеет вид
— 77?^ Il -hв SiT1 (ср — ср0]. (5.34) 94
Глава (і
Здесь е — эксцентриситет эллиптической орбиты, описываемой уравнением (5.34). Повернем координатные оси таким образом, чтобы (P0 = 0. Обозначим через а большую полуось нашего эллипса (фиг. 8):
(5.35)
Выражение для постоянной (/C1)2 через эксцентриситет и большую полуось можно записать с помощью (5.35) так:
(Ki)2
aGM
(1—є2). (5.36)
Фиг. 8.
Используя (5.36) и (5.34), можно получить решение уравнения (5.33), и тогда суммарное решение (с учетом эффектов второго порядка) уравнения (5.30) приобретает вид
W-.
1 г. . . 3GM* і
a(ilt») L1+ estn?—^(T=Ti)TcoSy +
GMt2
GM
^^fb) cos2,+ (3+s2). (5.37)
Здесь член
3GM є -^-—cpcoscp
обусловливает поворот перигелия; второе же и третье слагаемые можно привести к виду
3GM<? cos 9 і_ г
а (1 — S2) Lsin cP — WTf=I2)-J — _?2)
{
X
Из (5.38) следует, что за период каждого оборота перигелий смещается вперед на величину Д, равную
BkGM
Д =
с2а(ї— г2) •
(5.39)
. Зависимость поворота перигелия от эксцентриситета е и от величины большой полуоси а очевидна. Величина с Экспериментальная проверка общей теории относительности 95
в уравнении (5.39) представляет собой скорость распространения гравитационного взаимодействия. Таким обраЗом, согласие величины (5.39) с наблюдаемым значением поворота перигелия планеты Меркурия [астрономические наблюдения дают 42,6 0,9" за столетие, выражение же (5.39) предсказывает величину 43,0" за столетие] показывает, что общая теория относительности позволяет удовлетворительно описать явления гравитации и что гравитационные взаимодействия распространяются со скоростью света').
Интересно также отметить, что отклонение планетных орбит от строго периодической формы оказывается исключительно чувствительным методом проверки отклонения от закона обратной квадратической зависимости силы также в случае медленно движущихся тел (v<^c). Сила, действующая на покоящееся тело, отличается от ньютоновской п равна
где г выражается через расстояние от поверхности центрального тела I формулой
4. Отклонение света
Чтобы получить величину отклонения света в гравитационном поле, мы должны вновь решить уравнения геодезической (5.22) — (5.25). Интегралы (5.26) и (5.27) сохраняют силу. Вместо (5.28) мы получим соответствующее выражение для нулевого интервала. Приравняв квадрат линейного элемента Шварцшильла нулю, разделим его на ds":
Параметр s теперь отличен от интервала. Подставляя в (5.41) интегралы (5.26) и (5.27) и переходя к W=I[г, получаем уравнение
') Это последнее заключение автора не является общепризнанным и применимым к полям произвольной силы.—Прим. перев.
(5.40)
Г
1 -.Ki'O-
96
Глава (і
Более просто поддается анализу уравнение, получаемое путем дифференцирования (5.42) и имеющее вид
d2 W
Cl-{'
Г.
3WWM
(5.43)
Методом, использованным при решении уравнения (5.30), можно решить с точностью до членов второго порядка и уравнение (5.43). Это решение имеет вид
1 cost? GM ... , 9 . - = H—J-- (1 4- sin2 ср),
W
(5.44)
о
Постоянная наименьшее
интегрирования /•„ в (5.44) представляет собой расстояние, на котором световой луч, приближаясь к телу, еще остается невозмущенным (см. фиг. 9).
При г-VOo мы получаем два значения ср, удовлетворяющие решению уравнения
^(1 + Sin'cp). (5.45)
COStp :—
Обозначим
Cra
эти решения через
cPl
т: "2
к- и
cP2 =3
Bcp
" T' (5.46)
Решая (5.45), получаем для полного отклонения луча
4GM
Сгг0
OCC--=
(5.47)
Для светового луча звезды, проходящего вплотную к границе диска Фиг. 9. Солнца, формула (5.47) дает откло-
нение, равное Sep — 1,75".
Обзор астрономических измерений красного смещения и отклонения света был сделан Трамнлером [10]. Для величины отклонения света, наблюдаемой при полных солнечных затмениях, отдельные результаты измерений содержат вероятную ошибку порядка 10?« и обычно лежат в интер- Экспериментальная проверка общей теории относительности 97
вале 10% около величины, предсказываемой (5.47). Среднее значение результатов, полученных при одиннадцати затмениях, согласуется с (5.47) с точностью порядка 1 к 500.
5. Заключительные замечания
Четыре рассмотренных здесь эксперимента пока что составляют весь материал по экспериментальной проверке общей теории относительности. Это составляет разительный контраст с изобилием экспериментальных фактов, подтверждающих квантовую теорию. Постановка других реально осуществимых опытов была бы смелым начинанием. Эта задача в значительной мере затрудняется техническими возможностями. Современные приборы пока большей частью не могут обнаружиті, весьма малых эффектов, предсказываемых теорией чрезвычайно слабого гравитационного взаимодействия. В следующих главах будут рассмотрены недавно предложенные новые эксперименты.
