Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вебер Дж. -> "Общая теория относительности и гравитационные волны" -> 23

Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.

Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны — Москва, 1962. — 271 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnostiigravvolni1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 81 >> Следующая


Здесь X и Af — постоянные. Как данные опыта [5], так и соображения логической простоты указывают, что постоянную X можно положить равной нулю. Первоначальная формулировка теории, данная Эйнштейном [7], содержала утвер- 76

Глава (і

ждение о том, что движение частиц в гравитационном поле описывается ковариантным обобщением законов Ньютона, которое дает уравнение геодезической

# + (4.24)

Позднее было показано, что эти уравнения движения по существу уже содержатся в уравнениях поля (4.23) и не требуют отдельного постулирования. Согласно (4.24), сила, действующая на единицу массы покоящегося тела, задается тремя компонентами --C2T100. В приближении слабого поля величины gla весьма близки к соответствующим значениям метрики Лоренца, так что для метрики, не зависящей от времени

F1 = - С2Г<00«1 Mlgoo.

Теперь естественно по аналогии с другими полями рассматривать '/a c2SVv как гравитационные потенциалы. В случае слабых полей уравнение (4.23) сводится к уравнению Пуассона ') (4.2). Это можно осуществить, положив константу К в (4.23) равной 8т-О/с1, где О—гравитационная постоянная, равная 6,67-10 8 гл3 ¦ г• сек'2. Уравнения поля принимают вид

(4.25)

2. Вывод уравнений поля из вариационного принципа

Мы будем исходить из функции действия /, определяемой как

I ^ Ia Д- If.. = 1 J (La 4- Lp) Yz7Jd4X. (4.26)

Здесь I0 — гравитационная часть функции действия, Ip — часть, связанная со всеми другими нолями, L0 — плотность лагранжиана гравитационного поля и Lp — плотность лагранжиана всех других полей. В качестве La мы возьмем ска-

') Анализ случаи слабого поля проведен в гл. 7. Уравнения поля

77

лярную кривизну R, умноженную на размерный коэффициент с4/1 6tG. Тогда принцип стационарности действия дает

W5 / R ^zrZ d"x+yP = (4,27)

При этом вариация гравитационной части функции действия равна

+ (4-28)

Вспомним, что

г> _ ря _ P' I pa рр__pi рЭ

rVii- (14, а 1 tw>4 I1 V-4 «3 H-?

Предварительно перейдя к геодезической системе координат, можно записать [6]

8^, = (8^):.-(8^);,. (4.29)

Это уравнение является тензорным и поэтому справедливо во всех координатных системах.

Необходимо отыскать значение вариации —g. Из (3.72) следует, что

8 (-*) = - gf* S^v = ее^ З/?'"- (4.30)

Используя выражения (4.29) и (4.30) и учитывая, что ковариантная производная от метрического тензора равна нулю, мы можем придать равенству (4.28) вид

blO=¦{/ ^llv 3rV - Г «V^rS +

+ /[^v- J g^R] W VzirS a'x } . (4.31)

Покажем теперь, что первый интеграл в (4.31) обращается в нуль [6]. Величина g^^R^— скаляр; из (4.29) следует, что величина g-1" 8P|JV — g^" ЗГ'1, —вектор. Тогда использование выражения (3.75) дает

= / IVzr^ SP11, ЗГ?Д а fx. (4.32) 78

і

Глава 4

С помощью теоремы Гаусса правую часть (4.32) можно преобразовать в поверхностный интеграл, которой равен нулю вследствие обращения в нуль вариаций на границе. Тогда (4.31) приобретает вид

¦e^R) W V-gd*x.

(4.33)

При выводе этого результата не делалось никаких определенных предположений о том, какие величины (в дополнение к Slliv) рассматриваются в качестве независимых переменных при варьировании. Относительно остальной части функции действия мы примем, что она не содержит производных ^liv выше первого порядка. Тогда для вариации Ip получим

1 г

bl^-J

HLP^- S) дг

''g

.Iiv _



dg"



dAx.

Второе слагаемое в подынтегральном можно записать в следующем виде:

д (LpV=R)

(4.34)

выражении (4.34)

д (LpV-g) _

аg

dg"

-W

L

a [LfV-8)

W- (4.35)

Первое слагаемое в правой части (4.35) можно преобразовать в поверхностный интеграл, который снова даст нуль вследствие обращения вариаций в нуль на границе. Поэтому

д(LfV=T) { д(LfV-



"7/[-



bfftfx.

дГ \ діГ,л

(4.36)

Величину, стоящую в квадратных скобках в подынтегральном выражении (4.36), мы положим равной плотности тензора второго ранга 1I2T^Y—g• (Тензор T будет сейчас же отождествлен с тензором энергии — импульса — натяжений.) Итак,

1

V-

d(LpV-g)\ о(LfV-g)

da

|J.v



1

- r, 2

(4.37) Уравнения поля

79

Тогда соотношения (4.26), (4.33), (4.36) и (4.37) приводят к R^-Jff^R-=8Jr t^ (4.38)

Левая часть (4.38) удовлетворяет тождествам Бианки, так что тензор 71 , определяемый равенством (4.37), удовлетворяет закону

V;« = 0 (4-39)

и поэтому может быть отождествлен с тензором эиергии — импульса — натяжений, исходя из обычных соображений единственности. Правило (4.37) для вычисления тензора T в некоторых отношениях является более общим, чем правило (4.10), так как оно автоматически дает симметричную формулу T .

3. Уравнения Максвелла

В электродинамике плотность лагранжиана равна

LM = - it W9 + } J"Aa + V (4-40)

Величина Lp представляет собой плотность лагранжиана заряженных частиц; вектор /* — плотность четырехмерного тока. Рассмотрим прежде всего случай лоренцовой метрики. Тензор напряженности поля F^ строится с помощью четырехмерного вектор-потенциала А по правилу,
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed