Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь X и Af — постоянные. Как данные опыта [5], так и соображения логической простоты указывают, что постоянную X можно положить равной нулю. Первоначальная формулировка теории, данная Эйнштейном [7], содержала утвер-76
Глава (і
ждение о том, что движение частиц в гравитационном поле описывается ковариантным обобщением законов Ньютона, которое дает уравнение геодезической
# + (4.24)
Позднее было показано, что эти уравнения движения по существу уже содержатся в уравнениях поля (4.23) и не требуют отдельного постулирования. Согласно (4.24), сила, действующая на единицу массы покоящегося тела, задается тремя компонентами --C2T100. В приближении слабого поля величины gla весьма близки к соответствующим значениям метрики Лоренца, так что для метрики, не зависящей от времени
F1 = - С2Г<00«1 Mlgoo.
Теперь естественно по аналогии с другими полями рассматривать '/a c2SVv как гравитационные потенциалы. В случае слабых полей уравнение (4.23) сводится к уравнению Пуассона ') (4.2). Это можно осуществить, положив константу К в (4.23) равной 8т-О/с1, где О—гравитационная постоянная, равная 6,67-10 8 гл3 ¦ г• сек'2. Уравнения поля принимают вид
(4.25)
2. Вывод уравнений поля из вариационного принципа
Мы будем исходить из функции действия /, определяемой как
I ^ Ia Д- If.. = 1 J (La 4- Lp) Yz7Jd4X. (4.26)
Здесь I0 — гравитационная часть функции действия, Ip — часть, связанная со всеми другими нолями, L0 — плотность лагранжиана гравитационного поля и Lp — плотность лагранжиана всех других полей. В качестве La мы возьмем ска-
') Анализ случаи слабого поля проведен в гл. 7.Уравнения поля
77
лярную кривизну R, умноженную на размерный коэффициент с4/1 6tG. Тогда принцип стационарности действия дает
W5 / R ^zrZ d"x+yP = (4,27)
При этом вариация гравитационной части функции действия равна
+ (4-28)
Вспомним, что
г> _ ря _ P' I pa рр__pi рЭ
rVii- (14, а 1 tw>4 I1 V-4 «3 H-?
Предварительно перейдя к геодезической системе координат, можно записать [6]
8^, = (8^):.-(8^);,. (4.29)
Это уравнение является тензорным и поэтому справедливо во всех координатных системах.
Необходимо отыскать значение вариации —g. Из (3.72) следует, что
8 (-*) = - gf* S^v = ее^ З/?'"- (4.30)
Используя выражения (4.29) и (4.30) и учитывая, что ковариантная производная от метрического тензора равна нулю, мы можем придать равенству (4.28) вид
blO=¦{/ ^llv 3rV - Г «V^rS +
+ /[^v- J g^R] W VzirS a'x } . (4.31)
Покажем теперь, что первый интеграл в (4.31) обращается в нуль [6]. Величина g^^R^— скаляр; из (4.29) следует, что величина g-1" 8P|JV — g^" ЗГ'1, —вектор. Тогда использование выражения (3.75) дает
= / IVzr^ SP11, ЗГ?Д а fx. (4.32)78
і
Глава 4
С помощью теоремы Гаусса правую часть (4.32) можно преобразовать в поверхностный интеграл, которой равен нулю вследствие обращения в нуль вариаций на границе. Тогда (4.31) приобретает вид
¦e^R) W V-gd*x.
(4.33)
При выводе этого результата не делалось никаких определенных предположений о том, какие величины (в дополнение к Slliv) рассматриваются в качестве независимых переменных при варьировании. Относительно остальной части функции действия мы примем, что она не содержит производных ^liv выше первого порядка. Тогда для вариации Ip получим
1 г
bl^-J
HLP^- S) дг
''g
.Iiv _
dg"
dAx.
Второе слагаемое в подынтегральном можно записать в следующем виде:
д (LpV=R)
(4.34)
выражении (4.34)
д (LpV-g) _
аg
dg"
-W
L
a [LfV-8)
W- (4.35)
Первое слагаемое в правой части (4.35) можно преобразовать в поверхностный интеграл, который снова даст нуль вследствие обращения вариаций в нуль на границе. Поэтому
д(LfV=T) { д(LfV-
"7/[-
bfftfx.
дГ \ діГ,л
(4.36)
Величину, стоящую в квадратных скобках в подынтегральном выражении (4.36), мы положим равной плотности тензора второго ранга 1I2T^Y—g• (Тензор T будет сейчас же отождествлен с тензором энергии — импульса — натяжений.) Итак,
1
V-
d(LpV-g)\ о(LfV-g)
da
|J.v
1
- r, 2
(4.37)Уравнения поля
79
Тогда соотношения (4.26), (4.33), (4.36) и (4.37) приводят к R^-Jff^R-=8Jr t^ (4.38)
Левая часть (4.38) удовлетворяет тождествам Бианки, так что тензор 71 , определяемый равенством (4.37), удовлетворяет закону
V;« = 0 (4-39)
и поэтому может быть отождествлен с тензором эиергии — импульса — натяжений, исходя из обычных соображений единственности. Правило (4.37) для вычисления тензора T в некоторых отношениях является более общим, чем правило (4.10), так как оно автоматически дает симметричную формулу T .
3. Уравнения Максвелла
В электродинамике плотность лагранжиана равна
LM = - it W9 + } J"Aa + V (4-40)
Величина Lp представляет собой плотность лагранжиана заряженных частиц; вектор /* — плотность четырехмерного тока. Рассмотрим прежде всего случай лоренцовой метрики. Тензор напряженности поля F^ строится с помощью четырехмерного вектор-потенциала А по правилу,