Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
') Так возник тензор энергии — импульса — натяжений исторически. В теории упругости TiJ симметричен вследствие равновесия вращающих моментов, действующих на элементы объема. Уравнения поля
73
и энергия задаются через пространственные и временную компоненты Pa, причем
P1 = J TPdx^dx^dx3, P0 = f Т* dx'1 dx2 dx\
Величина Pa преобразуется как 4-вектор при преобразованиях Лоренца.
В электродинамике ') тензор энергии - импульса — натяжений выражается через тензор напряженности поля следующим образом:
Это следует из (4.10), если выбрать лагранжиан максвел-ловского поля так, как указано пиже в этой главе. Член
—ft (A
здесь введен для симметризации T^.
Приведенные выражения получены из соображений, справедливых в лорепцовых системах. Однако уравнения (4.13) и (4Л5) являются тензорными н поэтому справедливы в произвольных координатах. Любое выражение, полученное из (4.10), будет либо тензорным, либо легко приводимым к виду, удовлетворяющему трансформационным свойствам тензоров (например, путем замены частных производных ко-вариантиыми). Явно ковариантная форма Jrfiv будет получена ниже в этой главе.
Вернемся теперь к (4.3) и заметим, что правая сторона этого равенства тождественна пуль-нуль-компоненте T . Это подсказывает вывод, что уравнения гравитационного поля должны иметь вид соотношения, приравнивающего комбинацию тензоров второго ранга, относящихся к гравитационному полю, к тензору энергии — импульса — натяжений, характеризующему другие поля. Левая часть тензорных уравнений поля должна быть в некотором приближении сводима к уравнению Даламбера. Число возможных видов искомого тензора уменьшается вследствие того требования, что он должен быть образован из ^ v и его производных пе выше второго
>) Мы используем здесь абсолютные единицы COS. 74
Глава (і
порядка. Для слабых полей он должен переходить в даламбер-тнап. Для обеспечения этого свойства и согласования размерностей целесообразно потребовать, чтобы уравнения были линейны по крайней мере относительно вторых производных /T11V
Предположим, что некоторый заданный тензор не содержит производных g выше второго порядка и линеен по ним. Перейдем к геодезическим координатам, так чтобы символы Кристоффеля обращались в пуль. Из (3.48) видно, что в этих координатах вторые производные g- всегда можно записать как линейные функции тензора кривизны. Поэтому, если нужно построить тензор второго ранга, то его самый общий вид будет
C1Kliv + C2g^R Cii^v = В,„. (4.16)
Здесь C1, C2 и C3 — постоянные. Первые дна слагаемых в (4.16) суть линейные комбинации компонент тензора кривизны. Уравнение (4.16), как тензорное, справедливо во всех координатных системах. К выражению вида (4.16) мы пришли, исходя из требований общей ковариантности, построения тензора ранга два, линейности уравнения относительно вторых производных giu и отсутствия производных высших порядков.
Теперь полезно воспроизвести рассуждение Маха [3] и Гильберта |4]. Пусть искомый закон имеет вид соотношения
-7Vv (4.17)
между симметричными тензорами. Допустим получено решение, задающее g как функцию координат. Преобразования координат можно произвести, вводя четыре функции
х'11 = Г"-(х). (4.18)
Эти функции можно выбрать таким образом, что g'^ --= g и что первые производные g будут везде равны первым производным g' в некоторый начальный момент времени или на некоторой пространственно-подобной поверхности ').
') Рассмотрим, например, преобразование х'° = X", X'' = X1 +
-f- а (х0)3, х'2 = X2, х'3 — X3; тогда в момент X0 = 0 повсюду ?/,lv = ^liv, и все первые пространственные н временные произ-
водные от gв момент X0 = 0 совпадают. Уравнения поля
75
Вследствие ковариантности закона (4.17) преобразованные уравнения поля имеют в точности тот же вид, что и исходные. Отсюда, поскольку в них отсутствуют производные ^Jr выше второго порядка, следует, ЧТО g -¦= , повсюду. Это обстоятельство противоречило бы равенству
, дх9 дх* ,.
/Г „V =¦¦= --1Г Sfe3- (4.19)
дх дх '
Поэтому Гильберт заключил, что четырехмерные кова-риантные выражения вида (4.17) не состоят из десяти независимых уравнений, а должны иметь место четыре тождества, так что независимыми остаются лишь шесть уравнений. В этом случае решения будут содержать четыре произвольные функции, которые определяются однозначно, если некоторым нековариантным образом конкретизировать систему координат. Способ установлення четырех тождеств, которым должно удовлетворять уравнение (4.17), вытекает из того факта, что при метрике Лоренца тензор энергии — импульса — натяжений, составляющий правую часть равенства (4.8), подчиняется закону сохранения
V- = 0- (4-2°)
Логическое обобщение закона (4.20) на обіцековариантную теорию имеет вид
Vv-O. (4.21)
Как было показано [уравнение (3.56)], из тождеств Бианки следует, что
(я;V*).,=0- (4-22)
Эти тождества применимы при соответствующем выборе постоянных в (4.16). Из этих соображений следует, что уравнения поля должны иметь вид
V-у -xV = ^V- <4-23>
