Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
— ds* dx\ (4.1)
Мы будем отождествлять метрический тензор g ч с потенциалами гравитационного поля. Такое отождествление, следующее из принципа эквивалентности, является, по-видимому, важнейшей новой чертой общей теории относительности. Остается записать дифференциальные уравнения, связывающие g ч с распределением энергии массы. Мы будем исходить из закона всемирного тяготения Мыотона, имеющего вид уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ср:
V2(p =г 4кОрм. (4.2)
Здесь О — гравитационная постоянная, а рм — масса в единице объема. 70
Глава 6
Левую сторону равенства (4.2) можно сделать по меньшей мере лорепц-инвариантной, представив ее в следующем виде:
? ср -=r 4г:(/г;ж. (4.3)
Уравнение (4.3) аналогично уравнениям четырехмерною потенциала электродинамики. 'Гам плотность электрического заряда была одной из компонент 4-вектора вследствие инвариантности полного электрического заряда. Однако масса не является инвариантом, поэтому правая сторона (4.3) не будет, компонентой 4-вектора. Это компонента тензора второго ранга — тензора энергии — импульса — натяжений, уже знакомого из частной теории относительности. Эти тензорные свойства приводят к теории, более сложной, чем электродинамическая. Также и сопоставляемые гравитационному полю частицы нулевой массы покоя, гравитоны, обладают новым спином, равным двум, что снова является следствием тензорного характера гравитационных „ потенциалов" (ранг два).
Обратимся к законам сохранения. Закон сохранения массы в перелятивистской гидродинамике выражается через уравнение непрерывности
д (о ,,Vі) др.,
4- с .JM = 0. (4.4)
дх' дх°
Здесь Vі — скорость, а индекс і при суммировании пробегает три пространственных значения. Умножим уравнение (4.4) на dx1 dx2 dx3 и проинтегрируем по заданному объему. Первые три слагаемых сразу дают интеграл по замкнутой поверхности, охватывающей взятый объем. Этот результат означает, что производная по времени от полной массы, заключенной внутри области интегрирования, равна потоку массы через эту поверхность.
Обобщение закона (4.4) в специальной теории относительности имеет вид
= 0, (4.5)
дх*
где 7"*— тензор энергии — импульса — натяжений.
В дальнейшем мы будем обозначать операцию д/дх* с помощью запятой перед индексом а. Так уравнение (4.5) примет вид T^tw = 0. Уравнения поля
71
В теории поля специальной теории относительности сущестиует метод получения 7" из плотности лагранжиана /„, которая считается функцией переменных полей qя и их первых производных qФункция действия является четырехмерным интегралом от Ljc, и принцип экстремума действия утверждает, что при парпаиии переменных поля, обращающейся в пуль па границе интегрирования, выполняется равенство
"Ld1X=-- 0. (4.6)
Здесь символ о имеет обычный смысл и предполагается, что переменные полей </' и q«t, зависят от некоторого параметра. Если этот параметр обозначить через к, то S имеет смысл dk(djdk), причем при дифференцировании djdk величины л:'1 полагаются постоянными. Таким образом, порядок дифференцирования по It и по координатам может изменяться. Равенство (4.6) можно представить в виде
0 ^bJ L#x= =
= Г (-------dJ-Vi^ft Г ос/'Л с/'х. (4.7)
J \dq° дх Oq*, J ' J dxb\dq*,Q 4J J
Последнее слагаемое справа в (4.7) можно записать в виде поверхностного интеграла, обращающегося в пуль вследствие исчезновения вариаций uq" па границе рассматриваемой области. Так как уравнение (4.7) должно быть справедливо при произвольных вариациях, из пего следуют уравнения ноля
(4.8)
дх1 dq'\ т dq"
Умножим (4.8) на и учтем, что
с)L (IL dq" <)L 0q": ? ~dxf ~~ d,f d~7 dq*, p d7~'
а также что </", ? — в, r После преобразований получим
[Vі-Л p.^r7I7=0- (4-9) 72
Глава (і
Из (4.9) и (4.5) следует, что
т? --=Wl-Iat9-^i-• (4-Ю)
Сравнивая с классической механикой, мы отождествляем —¦ Г0° с плотностью энергии, так как q*i0 соответствует скорости. Анализ уравнений (4.9) и (4.10) показывает, что формула (4.10) не определяет TJ однозначно. К величине TJ можно прибавить любую величину Ф,^aii коль скоро <1>зт'1, я антисимметрично но f и а. Стало обычным выбирать функцию Ф таким образом, что получающийся тензор T^ (оба индекса опущены или подняты) оказывается симметричным [1, 2]. Это вызвано стремлением получить плотность момента импульса, которая задается равенством
^i-Vi-Vj (4лі)
п удовлетворяет закону сохранения
Л».?т'"--=0. (4.12)
Выполняя указанное в левой части уравнения (4.12) дифференцирование, находим, что (4.12), безусловно, удовлетво-• ряется при симметричных ТлГ
В случае жидкости T^., записывается через 4-скорость U^ следующим образом:
^v =(P-^-E)UvU4+ (4.13)
Здесь р — давление и F—полная плотность энергии (массы), определяемая в каждой точке в локальной системе покоя материи. Выражение (4.13) является четырехмерным обобщением трехмерного тензора натяжений ') TiJ, определяющего силу ClFi, приложенную к элементу поверхности ds', согласно формуле
СIFi=TiJdsК (4.14)
Уравнение (4.4) описывало сохранение массы; из (4.5) следует и сохранение полной энергии и импульса. Импульс
