Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
d ds
\ д (dx'/ds) J ds \ д (dx4ds) ) л '
первый из которых пе даст вклада в интегрирование в силу обращения вариаций в нуль па концах пути. Тогда уравнения Эйлера —- Лагранжа для этой задачи принимают вид
J_ _ Olds д ((LxJds)
dL
Ox1
¦ 0.
(3.66)
Заметим, что вдоль геодезической L=I. Используя (3.63), получаем
(T1X-
ds*
d___dl-__
ds д (dXх/ds)
Г '1Z*
! ds
(Igyl., ІІХ-* ,
-----l p-
ds
-1. S2 J'
0/. (fx*
и (3.66) примет вид
1 dg.rl ''ArX-,
2 (Ixi (Ja-Ij-
1 dg, d X^ d. Yv
2 дх* ds ds
g
" ds*
dx'*¦ dxv
(Pxt
~d7~
I FiV'
<}z*lі
" dxV'
ds ds dx*
dx* dx^ ds ds
= 0. (3.67)
') Здесь S имеет смысл вариации, соответствующей изменению координат к вектора dx'/dk при переходах от одного возможного пути к другому; параметр k лишь отмечает соответствующие точки на различных путях. »>4
Глава ?
Умножая (3.67) на gxa и выполняя суммирование, придем к уравнению геодезической
И2 Vа И V-Sjl И V-v
-?- +rV Чг ^ = 0' (3-68)
которое тождественно уравнению (3.60).
Рассматривая распространение спета, следует брать нулевые геодезические. Приведенный вывод в том виде, как это сделано здесь, в этом случае неприменим, так как интервал ds повсеместно исчезает. Однако ясно, что приведшие пас к (3.60) аргументы остаются в силе. Поэтому было бы более последовательным при выводе уравнения геодезической учитывать и этот нулевой случай, с важной оговоркой, что переменная 5 представляет собой определенный вдоль геодезической параметр, отличный от ее длины.
7. Вычислительные приемы
В заключение этой главы мы приведем ряд полезных правил манипулирования тензорными величинами. Рассмотрим прежде всего ковариантмую дивергенцию /Iltjlt:
Из (3.29) следует, что
1 де-
rV=-?*1""^- (3-70)
Выражение (3.70) можно записать с помощью детерминанта g , который мы обозначаем через g. Правило разложения детерминанта приводит к соотношению
= (3-71)
В (3.71) величина Aliv является алгебраическим дополнением (минором) элемента g Исходя из правила нахождения обратной матрицы и из определения g^, соотношение (3.71) можно записать в виде
-^L = O-oi'\ (Я. 72)
dg - gg1'' dgг = - gg„ dg»\ (3.72а) 1'пмчноиа геометрия и тензорное исчисление
63
Крайнее правое выражение в (3.72а) следует из равенства d (g^) = 0. Получаем
IJlv 'J-'' .л «л*
- gg' = -J5T • (3- 73)
Использование (3.73) позволяет записать (3.70) в виде
P - -U 'T--- -- M'" Г "7). (3.74)
C1J. 2 дх* 2.1! дх" дх' 4 v & ' '
Используем теперь выражение (3.74) при записи кова-риантпой дивергенции (3.69):
, - '.....J- У(3.75)
у — ^r Ox^
В случае контрвариаптпого гепзора второго ранга уравнения (3.38) и (3.74) дают
Са?;, = -4=.- Jj- (Са;і У~J) + (3.76)
у — fr Oxp
а для смешанного тензора правило (3.39) приводит к выражению
Ca9, з = yL=r Jf [с? y~J) - T'W- (3.77)
В случае антисимметричного тензора Fii последнее слагаемое и (3.76) обращается в пулі, и ковариантпая дивергенция принимает вид
І"-; - у,- - I''" Г' "?)¦ (3.78)
у — fr дх-
Если же тензор S*'1 симметричен, то преобразование последнего слагаемого в (3.77) приводит к результату
Op ^ ^ (О 3 ,/"---\ 1 f^fiV) 0а-< „ -г-
Sa ;= -ту (S; у - К ) — -- —- 5' . (3./9)
V — ? дх' 2 дх
При проведении вычислений часто оказывается полезным символ Леви-Чивита є з Гі. Ідо определяют: условие, что є=0 при совпадении любых двух его индексов, изменение знака при перемене местами любой пары индексов и равен- »>4 Глава ?
стпо г(І12;! — -J- 1. Детерминант /С тензора /Cliv удобно представлять и виде разложения
Закон преобразования
,, дх'''' дх'а „
в применении к (3.80) приводит после преобразований к установленню следующей связи между детерминантами К и К':
к'-IjiJf)!к- (3-8П
Сопоставляя (3.80), (3.81) и закон преобразования для /Cliv, получаем
1 дх' дх1 дху дх11 ,„ ....
—v — t - т......<л-82)
дх' дх" дх'
Это соотношение показывает, что символ S1,^ является тензорной плотностью веса I. Подобным же образом можно показан., что символ є^'ї5 является тензорной плотностью') веса 4-І- Заметим, что если є — тензорная плотность в дан-пом пространстве, то при такой интерпретации необходимо, чтбы полное число индексов у символа є было равно числу измерений пространства.
Положим теперь /C|)V - - из (3.81) можно заключить, чго детерминант g^v связан с детерминантом посредством соотношения
( ../(^y «Л (3.83)
Элемент четырехмерного объема a'x' связан с d*x согласно правилу Якобп
d*x ^J(J^r)d{xf. (3.84)
') Метрический тензор нельзя использовать для поднятия или опускания индексов у символа е. ввиду того, что и ^v' обладают различными весами. 1'пмчноиа геометрия и тензорное исчисление
65
Сопоставление (3.83) и (3.84) дает
Y~~gcl*x = Y q'dlx'. (3.85)
Таким образом, показано, что величина Y~ S^x является инвариантом.
8. Измерение длин
Мы рассматривали координаты и интервалы. В частной теории относительности мы имеем дело также с длинами. Покоящийся в заданной лоренцовой системе стержень обладает вполне определенной длиной. Мировые линии кондов
