Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вебер Дж. -> "Общая теория относительности и гравитационные волны" -> 18

Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.

Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны — Москва, 1962. — 271 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnostiigravvolni1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 81 >> Следующая


приведет к появленню непрерывного векторного поля. Обращение (3.47) в нуль будет тогда гарантировать неизменность л* при его параллельном переносе вдоль контура, замыкающегося в исходной точке О. Суп, вопроса можно уяснить, исходя из одного лишь равенства (3.1G). Для заданного контура (3.16) можно записать как в виде

dA,L ,, dx*

Эта система уравнений позволяет определить /І1*, коль скоро при конкретизации пути касательный вектор dx'^/ds оказывается заданным. Ксли изменение Л11 должно обращаться в нуль на любых замкнутых путях, то величина Г|1аЧЛ* dxf должна быть точным дифференциалом, откуда

^ »'.,Л

Разрешая это уравнение с учетом того, что вектор Л' подвергается параллельному переносу, получаем требование равенства пулю правом стороны формулы (3.46). 58

Глава Я

помеит R^apr Ясно также, что обращение в нуль Ri^t гарантирует интегрируемость системы уравнений (3.16).

Из выражения (3.46) вытекает антисимметрия R^по индексам ? и f. Тензор Rba^ равен ')

Iy о* _ 1 / , d'g«?__

s^ g^ ^ 2 \ дх" О J Ох* дхі

~ A - 1?Ъ) + *„ РЛ - "W (3.48,

Из (3.48) следует, что

^uSPr = — ^sot?i = — RaKtf = ^p7CiJ- (3.49)

Исходя из (3.48) и (3.46), можно убедиться, что

RaIftb + RaS?! + ^ct7S? = Rafitf ^абрТ ~Ь Ra-Jf.fi = 0.

б. Тождества Биаики

(3.50)

Теперь можно доказать справедливость важных дифференциальных тождеств. Выберем в некоторой точке геодезическую систему координат. В пей символы Кристоффеля обращаются в нуль, и коварйантпая производная от принимает вид

Из (3.51), таким образом, следует, что

R%; V + RW, J + 9 = 0. (3.52)

') Раскрыть (3.48) можно, представив в явном виде gtfR^eyi» а затем замечая, что

„ d^ _ д („ т* Л 1* dg^

g^at = IotEj. »I

11

-^r = И. ®] + [»7. 1'пмчноиа геометрия и тензорное исчисление

59

Левая часть (3.52) представляет собой тензор, величину которого мы определили в выбранной координатной системе, причем нашли все его компоненты равными пулю. Поэтому наш результат должен сохранять силу но всех остальных координатных системах. Соотношения (3.52) известны как тождества Биапки.

Смешанный тензор второго или более высокого ранга можно просуммировать по одному верхнему и одному нижнему индексу, получив тензор, имеющий ранг на две единицы ниже исходного. Эта операция называется свертыванием. При свертывании тензора Rall^ мы приходим к тензору R11,'.

dl 01 Hfj ^ ^ с

~ ^Vav = 'fx, b I1 ртГ' «3 F (3.53)

который называется тензором Риччи ¦). Симметричность его очевидна. Получаемый при свертывании R скаляр

^Rv* = R (3.54)

называют скалярной кривизной 2).

Умножая (3.52) па g"8^ т, получаем

Я*9 I^r:' ¦+¦ т + ?1 - 0- (3-55)

Ковариаптная производная от gравна пулю; кроме того, ил (3.46) следует, что = —- поэтому уран-,

пение (3.55) можно записать r виде

(/?/— -2 V^4=O11V=O. (3.56)

') Свертка по первому и второму индексам дает нуль, так как Ria^ = gnRlx^ исчезает вследствие антисимметрии Rn^ но индексам і и Свертка по первому и четвертому индексам приводит к результату, отличающемуся от (3.53) только знаком.

2) Ii двумерном пространстве в любой точке имеют силу следующие соотношения:

Ri2,2 R 1 г А"

- - = —-----= 1нп -гг-

- ГХГ? і' -> {) -J

Здесь ff— детерминант г, и гг — главные радиусы кривизны,

S—площадь малого геодезического квадрата в данной точке н ДО — избыток, т. е. величина, на которую сумма его углов превышает четыре прямых угла (excess). »>4

Глава ?

Уравнение (3.56) представляет собой свернутое тождество Бнапкн, а тензор С " --.= R^ — 1I-Zk^R называют тензором Эйнштейна.

6. Геодезические линии

Зададимся вопросом: каково уравнение кривой, определяемой тем требованием, что каждый ее элемент получен параллельным переносом предыдущего? Уравнения любой кривой задаются как одпопараметрическое семейство точек

x^f(s). (3.57)

Касательный вектор равен dx°-/ds, и новый касательный вектор, получающийся при параллельном переносе, равен

Г? -^f -Г\y~-dx9. (3.58)

Этот новый касательный вектор задаемся, кроме того, соотношением

Приравнивая (3.58) и (3.59), получаем уравнение кривой, элементы которой параллельным образом продолжают друг друга, а именно

rf2 ГР (І Xа (1 X^

1A - -T- Гг'Ч - Г- -Tl 0. (3.60)

as1 ' ".1 lis ds '

Как можно было ожидать, формулы типа (3.60) представляют собой уравнения кривых экстремальной длины, называемых геодезическими линиями. Чтобы показать это, найдем соотношения, при удовлетворении которым интеграл

f ds = fV~^~dxirdxv (3.6I)

принимает экстремальное значение. Вводя параметр /г, запишем

Пусть

г 9 dx^ rix" ,„

L -= ^ Чи (ГІГ- ^ 1'пмчноиа геометрия и тензорное исчисление

Ul

Условие экстремума интеграла (3.61) принимает вид1)

S J Ldk = 0. (3.64)

H качестве параметра k можно выбрать длину s, измеренную вдоль геодезической. Для других кривых она пе будет длиной. В таком случае (3.64) принимает вид



JL 'HJxUds)

8(4f)]rfs- (3-65)

Второе слагаемое в подынтегральном выражении можно представить в ниде разности двух членов:
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed