Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
дх"
+ I410Ha
является смешанным тензором; ее называют конариаптпой производной от A^ и записывают как
--Ifr I11Via- (3.34>
Из равенства 8 (/1/111)0 при использовании (3.16) следует, что „ ч
Szlll = Tli3H.^. (3.16а)
Отсюда и из соображений, аналогичных тем, которые привели пас к (3.33) и (3.34), можно записать ковариантпую-производную /Ill в виде
vl; - I1VA- (3-35)
Тензорные свойства (3.34) п (3.35) можно формально подтвердить, показав, что соответствующие величины удовлетворяют нужным законам преобразования (3.31). Коптр-варпаптпая производная строится путем поднятия индекса, обозначающего дифференцирование:
Аіч , д.»^. (3.36)
Коварпаптные производные тензора второго ранга С,л можно получить, потребовав, чтобы произведение Cv-ZliV/' остапалось инвариантным при параллельном переносе для произвольных A'' и В'. Полагая S(C4sZlllZi') равным нулю, получим SC.-, и ковариаптпые производные запишутся как
Vx?
С;,, -TyV-1VV (3-37>
Аналогично
'V : Г^С^ + Г(3.38)
С\, ¦¦ I^btC9a- (3.3!);
Обобщение па случай тензоров высших рангов очевидно. 54
Гли на 3
Рассмотрим копариантную производную метрического тен-зора g . Ona также является тензором. В геодезических координатах все компоненты этого тензора должны обращаться в пуль, откуда следует, что
^vl=O (3.40)
также и во всех других системах координат.
4. Тензор кривизны
Мы отметили ранее, что если существует преобразование координат, приводящее метрический тензор к виду метрики Лоренца сразу в некоторой области пространства, то эта область называется плоской. Любой заданный вектор допускает параллельный перенос во всем таком пространстве, образуя при этом постоянное векторное поле. Параллельный перепое по замкнутому пути приводит тогда к вектору, тождественному с исходным. В искривленном пространстве параллельный перенос по замкнутому пути, вообще говоря, пе дает вновь исходного вектора. Например, рассмотрим поверхность сферы (фиг. 5), па которой из геодезических кривых построен сферический треугольник. Возьмем вектор Л и рассмотрим его параллельный перенос. Сначала этот век-гор переходит в вектор В, затем в С и наконец в D. Очевидно, что AwD не тождественны. Займемся теперь вычислением того изменения, которое претерпевают компоненты вектора при параллельном переносе вдоль бесконечно малого замкнутого пути, изображаемого четырьмя кривыми, принадлежащими к двухпараметрнческому семейству вида
а ?<1 , х X ==. / (и, V).
(3.41) 1'пмчноиа геометрия и тензорное исчисление
55
Этот путь переноса окружает заштрихованную четырехуго.к -ную область на фиг. 6 со сторонами Ди при постоянном v
и Дх> при постоянном и. Изменение /г'1 на всем замкнутом пути равно
Irf = — I F1a3Ziot dx*. (3.42)
Взяи алгебраическую сумму вкладов противолежащих сторон „гіараллелограма" и ограничиваясь лишь членами первою порядка по Ди и Av, получим
Ы
дх
-к^^^rДв - Tu 'rV") (3-4?
Произведем в (3.43) дифференцирование, используя выражение для изменения IV при параллельном переносе; в результате имеем
W1
0Ґ
-JL'
дҐ
дх
а'' і рр- Pi__рр- ро
J "г" «т ~ 0Tt «3
X
Xn*
дх* дх>
dv du
— ДкДи. (3.44) 56
Глава .V
Так как мы ограничиваемся лппп> членами мерного порядка малости, было бы точнее записать (3.44) в виде
5 „*
Inn____
ін ->о Дії Ли
о Iі",
(51
(/V1 ох
..и Г'1, Г -
cV
г
per
i-(L аЗ
0х{
и«
Ilv
Ох* ' OiT
(3.45)
Левая сторона равенства (3.45) представляет собой-век-гор. Величины дх?/ди и dx'jdv— также векторы ввиду того, что и и V суть параметры. Отсюда следует, что определяемая формулой
R1'
<п
0.Ґ
дҐ
' Ox1
CC 3
. I1It Г'
^3 ИТ
pp. р:. °Г «3
(3.46)
величина Rllia3-, является тензором. Ona называется тензором Рішана — Кристоффеля или, проще, тензором кривизны. Таким образом, для бесконечно малого замкнутого пути ')
Ox^ ()лл .
-OVcludv- (3'47)
ол'
1^r-Ou
Ввиду равенства пулю изменения при параллельном
переносе получим
r>a Ох? Ox1 , .....
Oftfl — R ^na -JJ- ----- du dv. (3.47а)
Из (3.47) и (3.47а) следует, что обращение в пуль RtLaV. на любом замкнутом2) пути (что требует интегрирования по а
') Из этого рассуждения следует, что результат повторного ковариантного дифференцирования зависит, вообще говоря, от последовательности его проведения. Равенства (3.47) и (3.47а) приводят к соотношениям
If
В..
¦В.,
¦- — В'R
BM'-,--
Ij-; Я; 3 "!'¦'¦ 3;
2) Так как вектор л'" подвергается параллельному переносу, его значение в любой точке заданного контура зависит от выбора пути переноса. Интегрирование (3.47) и (3.47а) приобретает конкретный смысл, если осуществить параметризацию, как это показано па фиг. 6. Пусть начальной точкой будет О. Совершим параллельный перенос л* из О в О' вдоль всех заданных кривых. -)ю 57
и v) обеспечивает неизменяемость произвольного лектора прп параллельном переносе.
Для метрики Лоренца тензор кривизны н области спра-педлиности этой метрики ранен пулю н силу постоянства Если преобразования координат производятся в таком пространстве, то компоненти Rv"^ 1! "оной системе будут оставаться равными пулю вследствие их тензорных свойств. Следовательно, необходимым признаком плоского пространства является обращение в пуль R:\rr С другой стороны, если тензор Ril01.,„ повсюду равен пулю, то можно построить метрику Лоренца путем параллельного распространения совокупности осей Мипковского, так как эта операция становится теперь однозначной, не зависящей от пути. Компоненты произвольного вектора будут тогда оставаться неизменными при параллельном переносе везде в такой области. Все символы Кристоффеля обратятся повсюду в нуль, н все первые производные метрики повсеместно исчезнут. Так как в исходной точке была взята метрика Лоренца, то ясно, что метрика будет лорепцопой везде. Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием того, чтобы пространство было плоским, является обращение в нуль всех ком-
