Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Сравнивая это выражение с (3.17), заключаем, что
F , . - -J?!/--^- (3.21)
c^ 0x'"dx'< дх* д.\*
Правая сторона (3.21) явно симметрична по индексам а и р, так что коэффициенты F3l4 также должны быть сим-
') Приводимое здесь автором доказательство неполно, так как возможная антисимметричная часть символов Г теряется н силу симметрии множителя dx' ifх^ по индексам а и р. Несимметричный вариант реализуется, например, в закрученном пространстве и неоднократно использовался при построении единых теорий ноля.— Прим. ред.
¦1 ;u IVfn-P 50
Глава 'I
метричны по этим индексам. Выше было указано, что применение нерхинх пли нижних индексов связано с заданием трансформационных свойств тензора. К сожалению, индексы используются и в таких величинах, как Fvoiv которы.-, как мы увидим, пе подчиняются тензорным законам преобразования.
Мели операция параллельного переноса из данной точки в любую другую точку ее окрестности определена для всех векторов, то такую точку называют аффинпо связанной со своей окрестностью.
Теперь желательно вновь ввести в рассмотрение метрический тензор g определенный ранее с помощью соотношения
— (Is2 = g^dxv- dx\
Тензорные свойства вытекают из инвариантности квадрата „длины" ds-, поскольку все использованные здесь преобразования координат оставляют „длины" кривых неизменными. Мели тензору g V сопоставить матрицу и взять обратную ей, то получим новые величины gпричем
SrHvra-Va- (3.22)
Так как кронекеровская дельта является смешанным тензором, величины jo-"' образуют коптрвариаптный тензор. Ko-варпантпый и коптрвариаптный метрические тензоры используют для поднятия и опускания индексов '), что дает новые тензоры2), например
(3.23)
Выразим Ilva4 через метрический тензор. Из определения параллельного переноса следует, что
/в иервоіА
\ точке J WV^.;
') Заметим, что в произвольных координатах b.L, заменяется па JsVv, ибо S.,., = AVai точно так же о'"-> В общем слу-
чае только BV|X — 1 при а = м и ^ 0 при р. ч.
2) В общем случае B11'' I- B'''.,. Порядок индексов слепа направо при поднимании или опускании какого-либо из них должен сохраняться. Риманова геометрия и тензорное исчисление
51
Производя явно указанные здесь действия, получаем
AW с!х«-+¦ е^А* S/lv + ЙИ"
0. (3.25)
Исключая отсюда йЛ1'' и оЛч с помощью (3.16), приходим к выражению
дх'
h [іЗ
iiu
0.
(3.26)
Симметрия T15vtt по нижним индексам позволяет путем перестановки VHa получить
dg
__JU_,г г3 -P Г3
ЬЦ?1 V« «с?1 р
Напишем но аналогии
^ Mrt
(XV
0.
(3.27)
дх1"
SvtF' ил ' іГарГ" 11
0.
(3.28)
Совместное решение (3.26), (3.27) и (3.28) при учете (3.22) дает
1
(j.a 2
дх«
Трехзначковую величину 1 ~2
dg^ Ogn дха дх'-1
dg
va
17
дл-v
dir
Л ІХС
(3.29)
называют символом Кристоффеля первого рода и часто записывают как [p.a, v). Величину Friici называют символом Кристоффеля второго рода и записывают как Мы уже отмечали, что величины F11a3 не являются компонентами тензора. Исходя из закона преобразования g и дифференцируя его, не очень трудно показать, что [ца, v] преобразуется по закону
дх9 дхі дх* ,п „ , дх? ()2xt
іри. v]'
dx,v" дх'" дх'
~ li'T' S] +- (3.30)
' л-' 7 дх' дх' дх
4* 52
Используя закон преобразования g7'1, мы приходим к закону преобразования F{,1V в виде
Из (З.ЗІ) видно, что всегда можно вибриті, такую координатную систему, что в любой заданной точке все символы Крпстоффеля обратятся в пулі,. Одни из способов достичь этого следующий. Обозначим выбранную точку через Р\ пусті, символы Крпстоффеля в пей отличны от пуля. Произведем преобразование координат
Индекс (P) соответствует значению величины в точке Р. Используя (3.31) для непосредственного вычисления новых значений Г'"х.л, видим, что эти новые значения обращаются и нуль в точке Р. Это и завершает доказательство утверждения о возможности обращения символов Кристоффеля в пуль с помощью преобразования координат типа оттрапс-формпровапня, так как преобразование координат' (3.32) может быть выполнено но всех точках, в которых символы Кристоффеля имеют конечное значение. Система координат, в которой символы Кристоффеля равны пулю в точке Р, называется геодезической координатной системой, сама же точка P называется ее полюсом. Кроме того, с помощью преобразований координат можно обратить в пуль символы Кристоффеля вдоль кривой липни [4].
Вернемся теперь к пашей основной задаче—получению новых тензоров путем дифференцирования. Как мы уже видели, частная производная от вектора не является тензором. Построить новый тип производной можно следующим образом. Возьмем в некоторой фиксированной точке вектор Л|х. В соседней точке оп равен A^ -j- (М'\ Параллельный перенос его в эту соседнюю точку даст вектор AvВычитая одно значение из другого, получаем
Г
X
X'' -*¦"(/') "i" '2 ^ fl?> (P) Х' (Р)) (-*-6 (P))- (3.32)
2
(3.33) 53
Обе стороны этого равенства представляют собой векторы, так как разность двух векторов в одной и той же точке есть вектор. Поэтому величина
