Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Из законов преобразовании следует, что равенство нулю всех компонент некоторого тензора в одной координатной системе влечет за собой равенство пулю всех его компонент во всех координатных системах вообще. Этот факт играет важную роль в теоретической физике. Если закон выражен в тензорной форме, констатируя, например, равенство двух тензоров, то разность между ними будет равна пулю во всех системах координат н указанный закон будет справедлив независимо от выбора системы координат. Подобным же образом, если в конкретной системе координат установлена справедливость какого-либо тензорного уравнения, то оно справедливо вообще.
Mu видели, что производные скаляра образуют кова-риаптиый вектор. Напротив, производные от ковариантпого вектора не имеют требуемых тензорных трансформационных свойств, так как
дАг, , (дх"3- \ дх" дх'? 0А\ д^х'*
_...¦. -4------ Af __________L I Af______ .
дх> ' дх' \ дх- -J ()х? Ox' rt.v'f ^ а дх- дх'
(3.15)
Получать тензорные величины путем дифференцирования тензоров позволяет новый вид производной — копариаитная производная. Чтобы прийти к ее определению, следует рассмотреть понятие параллельного переноса вектора.
8. Параллельный перенос и ковариаитное
дифференцирование
Понятие параллельного переноса вектора возможно последовательным образом распространит!, ла искривленное пространство. ISyдем считать, что всегда существует такая система отсчета, что в непосредственной окрестности точки P имеет место геометрия Евклида (или Минковского) '),
') Мы всегда можем перейти к лореицовой метрике в любой заданной точке, где ^lll имеет определенное значение. Пусть, например, пространство обладает п измерениями. Метрика в іп-іпеїі точке представляет собой набор п (я ---<- 1)/2 чисел. Записывая »>4 Глава ?
так что и этой окрестности можно использовать декартовы координаты. В такой координатной системе смисл бесконечно малого параллельного переноса вектора состоит просто в том, что пи одна из его компонент при этом не изменяется. Также не изменяется при параллельном переносе и скалярное произведение двух векторов А и В, т. е. Л B''. В произвольных координатах мы определяем операцию бесконечно малого параллельною переноса вектора Л из точки P в соседнюю точку P' как операцию, при которой скалярное произведение этого вектора и произвольного вектора Bv' остается неизменным.
Можно наглядно проиллюстрировать смысл параллельного переноса вдоль некоторой заданной кривой на двумерной поверхности. Пусть эта поверхность будет развертываемой. Мы можем тогда развернуть ее па плоскость и па этой плоскости произнести параллельный перенос векторов. Затем поверхность вновь свертывается, и искомый параллельный перенос на исходной поверхности получен. Р.слн же наша поверхность перазиертываема, мы должны сначала выбрать путь параллельного переноса, а затем построить касательные плоскости в каждой точке этого пути. Огибающей этих касательных плоскостей будет развертываемая поверхность. Эта новая поверхность может быть затем развернута и после осуществления параллельного переноса вновь свернута. Вели кривая, вдоль которой производится параллельный перенос, является геодезической, то после развертывания па плоскость она представится в виде прямой линии. Ясно, что угол между геодезической и вектором пе меняется при параллельном переносе. Мы подчеркиваем, что операция параллельного переноса из одной точки в другую зависит, вообще говоря, от пути, выбранного между этими точками.
Следует ожидать, что и криволинейных системах координат как в плоском, так и в искривленном пространстве,
dx' - = //г',, Ilxli и полагая для удобсіва Di^4 ----- DiKl, подставим это равенство н ils'A, требуя, чтобы ^r',,,, = Ъ.,.,. Это даст нам и (п -I- 1)/2 уравнений для такого же количества требующих определения чисел т. Имеются и другие подходы к этому вопросу. Вообще говоря, указанный подход неосуществим в конечной обласні ввиду того, что т оказываются тогда функциями, а не числами и уравнения ilX'' -.-- nr'^tlx'? могут оказаться принципиально пепнтегри-руемыми для получения требуемого преобразования координат. 1'пмчноиа геометрия и тензорное исчисление 49
компоненты вектора /Г при параллельном переносе будут меняться. ІІусгь это изменение в случае бесконечно малого параллельного переноса равно о/Г. Величина о/Г должна быть тогда линейной функцией дифференциалов координат и компонент Л\ Можно записать
^v - Fva3A1Jxp. (3.16)
Величины Iiva1 суть коэффициенты, свойства которых подлежат определению. Покажем сначала, что Tvap симметричны по а її 8 '). Пусть /Iv будет дифференциалом координаты dx'': Ь (dx") = - Fa3 dx* dx\ (3.17)
Вернемся вновь к локально декартовой системе координат с помощью преобразований
xa^f(x'\ х'~. ...),
(3.18)
х'а -¦= ер"(х1, x21 . . .),
где штрихованные координаты локально декартовы; тогда
dx* .=*-??.-dX'9. (3-І9)
дх'*
Из определения параллельного переноса следует, что
b(dx'?)~ 0, так что исходя из (3.I9), можно записать
3 (dx") - — W— dx'" dx= ,>2/- - -0?- -dJ- dx* dxK (3.20) дх'ьйхл Ox'" dx' Ox" дх?
