Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Z1 /2
используется другой спосоо упорядочения точек X , X,
.v'J.....х'м, такой, что
х"--=Ґ (Xі, X2.....Xм). (3.1)
Допустим существование производных п запишем
dx'a = 40- dx1 = dxK (3.2)
CUii OxV 4 ' 44
Г лапа .?
Дифференциалы координат rix* называют компонентами контрвариантного вектора'). Подобным же образом любая совокупность величин Fa по определению образует коптр-вариаитпый вектор, если эти величины подчиняются закону преобразовании
Ftt = -djCr*. (3.3)
(Lv1
Рассмотрим теперь величины вида дъ/дхК где ср — некоторая функция переменных х1, X2.....Xм:
()"f <1 (f
дх' дх Ox'
(3.4)
Mi>i впдим, что величины д<?/дх* подчиняются закону преобразования, отличному от (3.3). Говорят, что любой набор величии, преобразующихся как
дх'
образует ковариаптний2) вектор.
Заметим, что наши определения ковариантпых и контра-вариантных векторов предполагают существование производных на пашем многообразии и пе требуют существования метрики. Мы будем придерживаться общепринятого соглашения относительно обозначения ковариантпых векторов нижними, а коптравариаптпых — верхними индексами.
Произведение двух коптравариаптпых векторов Л* и В? преобразуется как
A'''ІҐ 'К AB'. (3.6)
дх" дх1
') Вектор является тензором первого, а скаляр — тензором пулевого ранга.
2) Слово „ковнриантиый" имеет дна совершенно различных значения. Копариантиаи теория или уравнение имеют один и тот же вид во всех системах координат. Но слово „ковариаптнын" нсиоль-зуется также для указания на то, что тензор обладает трансформационными свойствами (3.5). Таким образом, копариантиос уравнение может содержать наряду с ковармантпыми коитриариантные тен-зоры и другие объекты, которые вообще не являются тензорами. 45
Совокупность іісліі'іші Ty', подчиняющихся закону преобразования вила (3.6), образует по определению контр-нариаитиый тензор второго р;і нга. Аналогичным образом коиариаптпый тензор второго ранга подчиняется закону преобразовании
(1 V* () V3
TV H V %Та?. (3.7)
r дх Ox '
Смешанный тензор произвольного ранга преобразуется по закону
Ох* дх? Oxrv Ox''' _PJ... .„ Q4
І аг, ... = Г~Т"77 • • • T7'" "YV ¦ • • 0^1 ¦•¦ •
дх Ox ' дх¦ Ох
Сушестиуют величині,!, подчиняющиеся закону преобразования
Tf"=* Jw- ... Tt/", (3.9)
дх" дх'"
где ./ - якобиан преобразования | дх'/дх'11, а W указывает степень, и которую он возводится. Величину Tv.'" называют тензорной плотностью веса W.
Функция S, переходящая при преобразовании в такую функцию S', что S -S' в любой точке и любой системе координат, называется инвариантом или скаляром.
13о всех случаях, когда дана некоторая величина, форка ее задания предопределяет способ ее определения п других системах координат. Например, если — то в дру-
гой координатной системе T'— Л' В\.
Произведение AhBx ковариантпого и кош риариаптного векторов преобразуется следующим образом:
AlrB'1 —- AB" й/ AJ)" = A?\ (3.10)
дх"' дх' '
Поэтому такое произведение является скаляром. Следовательно, и внутреннее произведение (получающееся при попарном суммировании ио верхним и нижним индексам) также является скаляром для тензоров высших рангов. Эти свойства могут быть использованы для доказательства тензорного характера величин. Пусть B',L является произвольным коїпр-нарнаптпым тензором, а А ¦ -набором величин, возможно 46
Глива .4
и не обладающим тензорним характером. Тогда, если произведение A^Bli представляет собой инвариант, мы можем заключить, что А —тензор. Действительно,
АЛВ* = А'Ж--. (3.11)
11 дх" '
Индексы а или по которым следует производить суммирование, можно заменить любыми другими подходящими обозначениями'). Это существенно упрощает рассуждения. Благодаря этому (3.11) можно переписать в виде
= (3.12)
Из (3.12) следует, что A^ преобразуется по закону A = = А\ дх' /дх'1 и поэтому является ковариаптпым вектором.
Кропекеровская дельта, записываемая как о v, есть величина, равная единице при jx = v и нулю при jx ¦/-- v. Запишем
^v_ дхv__дх'' дх'" _дхv дх'а ^ . _
^ ~ 17 дх'' I^ ~ дх* ~д7Са' 1 '
Очевидно, S v является смешанным тензором.
Вели имеет место равенство Sim = S^"1, то говорят, что тензор S^ a симметричен по индексам р. и v. Нсли же Aa^ = — — то говорят, что тензор Ax^ антисимметрич'.'п (или
кососимметричеп) по индексам аир. Если записать для таких тензоров законы преобразования, то становится ясно, что свойства симметрии тензоров сохраняются при преобразованиях координат, коль скоро соответствующая пара индексов целиком ко- или коптрвариаптпа. В общем случае свойства симметрии не сохраняются, если вариантность соответствующих индексов различна. Поэтому имеет смысл говорить о свойствах симметрии лишь в отношении индексов одинаковой вариантности.
Произвольный тензор Л|17 можно записать как
Л1"* = 1 [/I11V + А\*\ + I [Л|17 - /TVb (3.14)
') Такие индексы называются ,немыми*. — Прим. ред. 1'пмчноиа геометрия и тензорное исчисление
47
откуда следует, что любоіі тензор можно рассматривать как сумму двух тензоров—симметричного но данной паре верхних (либо нижних) индексов и антисимметричного по ней.
