Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
4. Общая ковариантность
Когда рассматриваются только гравитационные поля, принцип эквивалентности исключает возможность отличить с помощью локальных измерений иперциальпую систему от системі,і, свободно падающей в гравитационном иоле. Поэтому пе существует априорных оснований для особого выделения инерцпальных систем. Невозможно также построить какую-либо систему синхронизированных часов во всем гравитационном поле. Эти причины привели Эйнштейна к постулату о равноценности всех координатных систем при описании природы и о том, что физические законы должны иметь
исшедших за короткие периоды ускоренного движения. Iic л и скорость путешественника относительно брата-близнеца, покоящегося в инерцналмюп системе, равна v, то
' /1—~(v*a*)'
где tr — интервал времени, прожитый близнецом, оставшимся в инерциальной системе, a tm — время, протекшее с точки зрения его движущегося брата. Этот вывод непосредственно следует из частной теории относительности, так как мы проводим все выкладки в системе близнеца, все время остававшегося в инерциальной системе отсчета. Этот же результат |3] можно получить, проводя выкладки н системе, связанной с движущимся близнецом, если использован» формализм общей теории относительности, имеющий силу также в в системах, которые могут испытывать ускорения. Таким образом, никакого парадокса здесь пет. Il
один и тог же вил во всех системах. В этом и состоит ripniiuiMi общей ковариантности.
Если мы примем этот принцип, то координаты станут не более чем своего рода бухгалтерской системой учета событий. Принцип общей ковариантности оказался ценным руководством при выводе правильных уравнений. Исходя из пего, мы избегаем применения законов, кажущихся простыми только и некоторых сис темах координат, и сохраняем лить те, которые просто выражаются в произвольных системах. Кречман \7\ отметил, что псе физические законы могут быть записаны в коварнантном виде. Получающиеся выражения обычно не бывают простыми. Кречман указал также, что поэтому принцип общей ковариантности совершенно пе содержит никаких необходимых физических следствий. Несмотря па это, требование ковариантности при достаточной простоте формы оказалось ценным руководством при установлении уравнений; вопрос об окончательном принятии их решается па основании сравнения с опытом.
Применение аппарата тензорного анализа облегчает обращение с общековариаптными уравнениями в искривленном пространстве.
ЛИТЕРАТУРА
1. Minkowski H., Обращение к 80-му съезду немецких естество-
испытателей и врачей, Кельн, 1908 г.; перепечатано в книге The Principle of Relativity, Dover Publications, New York, 1952. (См. перевод: „Принцип относительности", сборник работ классиков релятивизма, М. — Л., 1935.)
2. Darwin С. G., Nature, 180,976 (1957).
1 Moller С., Tlie Tlieory of Relativity, New York, 1952.
4. P. і iisie in A., Ann. d. Pliys., 49, 769 (1916).
5. Rosen N., Phys. Rev., 57, 147 (1949).
6. Dicke R. Il., Rev. Mod. Phys., 29, 363 (1957).
7. K r e t s с h m a n n E., Ann. d. Phys., 53, 575 (1917). ГЛАВА З
Риманова геометрия и тензорное исчисление
Внутренние свойства поверхностей более всего заслуживают усердного изучения геометрами.
К. Ф. Гауе с
1. Понятие о кривизне
Рассмотрим теперь более общий тип геометрии, в которой метрика j?f|JV не обязательно везде сводима к метрике Лоренпа посредством преобразования координат.
Гаусс исследовал следующий вопрос. Представим себе искривленную двумерную поверхность, населенную мыслящими двумерными существами. Могут ли они заметить, что их мир искривлен? Момсно ли определить характеристики кривизны при помощи измерений, проведенных лини, внутри этой поверхности? Гаусс показал, что это в самом деле осуществимо. Начнем с того, что пронумеруем точки па нашей поверхности каким-либо систематическим, хотя и произвольным образом. Два произвольных CeMencTBaKpnnbixxl - -Const и х'2 -const образуют координатную систему (фиг. 4). Непосредственное измерение длины между точками а и b дает g.,.,\ измеряя аналогичным образом длины ас и ad, получим gn и Jtf11. Гаусс дал формулы, позволяющие выразить кривизну через g и их производные.
Кривизна является внутренним свойством, и в любой фиксированной точке она имеет определенное значение вне зависимости от выбора координатной системы. Мы увидим, как можно обобщить понятие кривизны на случай числа 1'пмчноиа геометрия и тензорное исчисление
43
намерений, большего двух. Теория гравитации Эйнштейна связывает кривизну пространства с распределением натяжений и энергии. Это отчасти совпадает с предположением Маха
о том, что свойства пространственно-временного континуума определяются распределением энергии.
2. Законы преобразования различных тензоров
Прежде всего мы предположим, что имеется M переменных X11 х\ Л":і, ..., хЛ[, и совокупность определенных значений этих переменных будем рассматривать как точку в пространстве или многообразии, имеющем M измерений. Само пространство образовано всеми точками, соответствующими допустимым значениям наших переменных. Пусть
