Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
** ) ^ Яг= + * 8fi ) П™
В диэлектрике
?Ф = А Ф (gr) і kg її В W (gr)J cos (m ф + Фо) е'< Ez = g2A Ф (gr) sin (т ф + ф0) eiAz, H9= ^ikgz АФ' (gr) — ^ B4(gr)^ sin (mф + ф0) eihz, Hz = g\B^ (gr) cos (m ф + ф0) є'"-, (63.06)
236
bihz а в пустоте
Etр«= ^ СФ (pr) — і kp DW' (pr) cos (от ф + <р0) eihz,
?z = — ръ С Ф (pr) sin (от ф + Фо) е'Аг,
Яф = Ji kpC Ф'(рг)— DW (pr)] sin (от ф + Фо) е1"*,
Hz=-P2 DW (pr)'cos (отф + Фо) eiftz. (63.07)
Требование непрерывности этих составляющих при г=а (на границе диэлектрик — пустота) приводит к следующим уравнениям для постоянных А, В, С и D:
mhA Ф (ga) — ^kgaB Y' (ga) = mh СФ (ра)—kra D ?' (ра),
ga А Ф (ga) = —-р2 СФ (ра), (63.08)
е kga А Ф' (ga)—mhBW (ga) = kpa С Ф' (pa)—mh DW (pa),
g2BW (ga)=- P2DW (ра).
Выразив ChD через А и В, получаем для последних соотношения
kp2 ga [р?' (ga)—gaFm W (ga)] ? = от/г (g2 + р2) Ф (ga) А,
kp2 ga [еФ' (ga)—gaFe Ф (ga)] A = mh (g2 + р2) ? (ga) В (63.09)
и приходим к характеристическому уравнению
Ik2P^a4(Bfe-Fe) (pfm—Fm) — m2h2(g2-\-p2)2, (63.10)
где введены обозначения
Ф'(^) fm ... V(ga) _ Ф' (ра) >Рп_ ga Ф (ga) ' ga V (ga)' ра ф {ра) ' ра ф {ра)
(63.11)
Пользуясь тождествами
g2+p2=k2Cep-I), g2+elip2=h2(eii-1), (63.12)
можно переписать характеристическое уравнение следующим образом:
(Bfe-Fe)(Ufm-Fm) = Ui2 Г —— + —1 Г-3^ + —1- (63-13) l/ ' I (ga)* Т (pa)» J L (да)» ^(ра)* J
Это уравнение связывает между собой переменные ga и ра. Соотношение
(ga)2+ (ра)2=р2, (P=^aVejv-T) (63.14)
дает дополнительную связь между этими переменными.
237 Для симметричных поверхностных волн, имеющих азимутальный индекс т=0, правая часть (63.13) исчезает и уравнение распадается на два уравнения
gfe==Fe и \ifm=Fm. (63.15)
Для волны, удовлетворяющей первому уравнению (63.15), из второго соотношения (63.09) получаем B=D=0, так что такая волна является электрической. Из второго уравнения (63.15) получаются магнитные волны, поскольку для них A = C=O.
Несимметричные волны (т= 1, 2,...) —всегда гибридные. Форма характеристического уравнения (63.13) показывает, что каждую гибридную волну можно рассматривать как результат электродинамической связи между несимметричной электрической и несимметричной магнитной волнами. Эта связь возникает потому, что на границе диэлектрика электрическая волна порождает магнитную и наоборот, как видно из формул (63.08) и (63.09). Наличие связи может привести к появлению комплексных волн (см. конец § 62).
Перейдем к диэлектрическому стержню, для которого в силу формул (63.04)
fe = /m =J>L=fife = FB к'^ра) =F. (63.16)
ga Jrn(ga) pa Kmipa)
Уравнения (63.15) для симметричных волн в стержне удобно переписать в виде
-L=J- -L = -L [ J- = раКо(ра) J_ = _ ga Jq (gab /g3
F ef ' F Vf I F Кх(ра) ' f J X (ga) J Л
Функция 1 /F монотонно возрастает с увеличением аргумента ра (см. далее рис. 75), а функция 1/1/ имеет тот же характер, что и правая часть уравнения (61.08), изображенная на рис. 65,6; она состоит из ряда ветвей, причем п-я ветвь лежит в пределах von<C -Cga-C|xon, где согласно § 42 через von обозначен п-й положительный корень уравнения /o(v)=0, а через цоп обозначен п-й корень уравнения /'0((1)=—/і([х)=0. Каждая (я-я) ветвь кривой дает начало симметричной электрической волне E0n и симметричной магнитной волне H0n, причем эти волны существуют при условии P>von- При условии p-C"Voi = 2,405 симметричных поверхностных волн в диэлектрическом стержне нет; нет и других поверхностных волн, кроме основной.
Результаты, полученные в § 61 для диэлектрической пластины, качественно сохраняются в данной задаче: вблизи критической частоты и поле в основном расположено в окружающем прост -ранстве, при значительно более высоких частотах и по-
ле сосредоточено внутри стержня.
Несимметричные электромагнитные волны разбиваются на два класса, которые обозначаются как волны HEmn и EHmn соответственно. Не будем здесь разбирать детально свойства этих волн я отметим лишь, что каждая из этих волн имеет критическую часто-238 ту; ее скорость и распределение поля в,пространстве зависят от частоты качественно так же, как соответствующие характеристики волн Eon и Я on в стержне или волн в диэлектрической пластине (§ 61).
Особое положение занимает основная волна, имеющая азимутальный индекс т=1 и критическую частоту, равную нулю. Эта волна существует при любой частоте, подобно волнам Eoo и Яоо в диэлектрической пластине. При низких частотах (когда 1) волновое число hmk-, более точно его можно рассчитать, если воспользоваться формулами
Jm (*) = — Jm (X)-Jm+1 (*), —К'т (у) = — Km (у) + Km-I (у)
X у
(63.18)
и представить функции / и F в виде
f = т ____-Wi (Sa) р = т + Km-I (ра) (63 19)
(ga)2 ga Jm(Sa) ' (pa)2 pa Km (pa)
Пользуясь формулами (22.05) и (58.15), при т= 1, и
1 получаем
/=—5---LtF=-L- +In— . (63.20)
(ga)2 4 (ра)2 ура
При подстановке этих выражений в характеристическое уравнение (63.13) будем считать pa^gaxр, что оправдывается получаемой далее формулой (63.21). Приравнивая слагаемые, пропорциональные 1 Kpa)2, получаем соотношение
