Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 59. Распространение поверхностной волны вдоль привода с конечной проводимостью
Исследуем распространение симметричной электрической волны поверхностного типа вдоль металлического провода радиуса а. Электромагнитное поле этой волны при г>а будем выра-
215 жать через электрический вектор Герца с единственной составляющей UeZ, определяемой формулой (58.03). Функция Пе должна удовлетворять уравнению (58.110) с индексом т = 0; поэтому полагаем
U^=AKo(Pr), (59.01)
поскольку в силу асимптотических формул (58.16) она действительно дает поверхностную волну, поле которой исчезает при /-->-—>-оо, а функция Io для этой цели непригодна. Вычисляя по формулам (18.03) составляющие электромагнитного поля при г>а, получаем
Er = -IhpAK1 (pr)eih*, Ez = -p2AKo(pr)е1"*, E9=O,
H9 = -XkpAK1(Pr)е'Ч Hr = H2 = 0. (59.02)
Если провод является идеально проводящим, то распространение волны вдоль него происходит со скоростью с (h = k), как показано в § 29. В обычных линиях (ом. § 34) конечное сопротивление проводов приводит к замедлению волны. Согласно § 58 она приобретает при этом поверхностный характер, обычно выраженный слабо (поскольку hTnk).
К тому же результату приводит и конечная проводимость одиночного провода, которую легко учесть, ставя на поверхности провода граничное условие Леонтовича
Ez = IsHф при г = а, (59.03)
где ? — волновой импеданс металла, определяемый формулой (26.02). Таким путем получается характеристическое уравнение
paKo(pa)IKx(pa)=\lka, (59.04)
определяющее р и h для волны, бегущей вдоль провода.
При решении уравнения (59.04) нужно учесть, что параметр ?; весьма мал. Поэтому при малых и конечных значениях ka правая часть уравнения (59.04) весьма мала. Левая же часть уравнения, как легко показать с помощью формул § 58, может быть мала лишь при ра<С 1. Пользуясь формулами (58.15), преобразуем уравнение (59.04) к виду
(pa) 2In (2 /ура) = ilka. (59.05)
Это уравнение было выведено (несколько иным путем) Зом-¦мерфельдом еще в 1899 г. Трудность решения этого уравнения заключается в том, что правая часть его комплексна, поэтому нельзя применить графический метод, изложенный далее в § 67. Уравнение (59.05) приходится поэтому решать итерационным методом, для чего перепишем его в виде
(ра)2 = i^ka/ln (2/ура). (59.06)
Исходя из некоторого приближенного значения 1п(2/ура), вычислим ра и подставим затем ра в правую часть под знак логариф-
216 ма; получаемое с помощью формулы (59.06)" уточненное значение ра опять подставляют в правую часть и т. д. Итерационный процесс быстро сходится к искомому значению ра, если исходное значение 1п(2/ура) брать не слишком далеко от истинного значения. Обычно можно полагать In (2/ура)»10 и начинать итерации с этого значения для всех практически интересных случаев. Этот результат объясняется тем, что при больших значениях аргумента логарифм есть медленно меняющаяся функция.
Таким образом получается, что волна, распространяющаяся вдоль медного провода радиуса ct=Il мм и имеющая частоту IO9 Гц (^=30 см), имеет волновое число h = k[\+ (6,0 + i6,4) X XlO-5]. Благодаря конечной проводимости металла волна приобретает затухание (довольно малое), а ее фазовая скорость становится несколько меньше с. В теории длинных линий получаются аналогичные результаты (см. § 34).
Существенно отметить, что замедление волны, распространяющейся вдоль провода, превращает ее в поверхностную волну и энергия волны сосредоточивается вблизи провода, как это видно из формул (59.02). Обозначим через г (50%) и г (75%) радиусы цилиндров, коаксиальных данному проводу, через поперечные сечения которых проходит соответственно 50 и 75% мощности поверхностной волны. Приведем результаты расчетов г (50%) и г (75%) для медного провода радиусами а= 1 и 5 мм (табл. 2).
Таблица 2
Радиусы цилиндров 1 = 30 CM Х.-3 CM
Cl = 1 MM а—5 мм а=1 мм а—5 мм
т (50%), см 5 17 2 6,5
т (75%), см 38 100 9 14
Эти числа показывают, что в диапазоне дециметровых и сантиметровых волн радиальная протяженность поля одиночного провода не превышает нескольких длин волн. Эту протяженность, можно еще уменьшить, если провод покрыть слоем диэлектрика (см. § 62).
Замедляющее действие провода с конечным сопротивлением объясняется тем, что в металле волны распространяются значительно медленнее, чем в воздухе, так как комплексный показатель преломления металла весьма велик (см. § 12 и 26). При распространении волны вдоль провода одна часть ее энергии* (большая) находится в воздухе, а другая (меньшая) — в металле, и фазовая скорость волны есть взвешенная средняя. Так как поле в металле выделяет тепло, то наряду с замедлением волна' приобретает и затухание. Аналогичным образом замедляет электромагнитные волны диэлектрик (см. § 61).
21Г Отметим, что ,формулу (:59.06) можно переписать в виде
ft2= k2+it,k/a ln,(2Iypa) =k2+iaCZi, (59.07)
где
Zi — ?/2я a = 21,/са, C = 1/2 In (2/ура); (59.08)
2-і есть согласно формулам (26.11) и (26.13) погонный внутренний импеданс провода, а величину С можно назвать (применительно к расчету h) с некоторой натяжкой погонной емкостью однопроводной линии. Тогда формула (59.07) приобретает тот же вид, что и формула (34.03) в теории длинных линий. Величина С комплексна, однако в самом грубом приближении ее можно считать вещественным-числом, равным 1/20.
