Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью сферических координат можно исследовать рупоры более сложной формы: биконический и пирамидальный. В биконическом рупоре (рис. 63,а) электромагнитное поле занимает область пространства
AiCflCfl2, 0<фС2л. (57.02)
Пирамидальный рупор (рис. 63,6) является равномерно расширяющимся прямоугольным волноводом и часто применяется вместе с обычным прямоугольным волноводом. Его стенки ограничивают область пространства, которую приближенно можно определить
я/2—A0 CflC л/2+Ao, —фоСфСфо. (57.03)
В § 20 были введены потенциалы U я V, которые позволяют вычислить поля электрических и магнитных волн в коническом рупоре: с помощью функции U и формул (20.16) получаются электрические волны, с помощью функции V и формул (20.17) — магнитные волны. Сами функции U я V должны удовлетворять уравнению (20.18), решение которого ищем в виде
U=h(kr)Q(o, ф). или U=^v{kr)Q<{А, ф); (57.04)
Рис. 62. Конический рупор
Рис. 63. Рупоры более сложной формы:
а — биконический; б — пирамидальный
208 функция Q удовлетворяет уравнению
Л*Й+V (v-H) Й=0. (57.05)
Функция Ev определяет волну, бегущую в радиальном направлении, а функция t|jv — стоячую волну, конечную или равную нулю при г=О (см. § 23).
Функция ?2 (ft, ф) задана на единичной сфере, где положение точки определяется углами ft и ф. Стенка рупора вырезает на единичной сфере площадку S, ограниченную контуром С. На этом контуре функции U и V должны удовлетворять граничным условиям
U = 0, dV/dn = 0, (57.06)
вытекающим из условий Er=Es = 0 на идеально проводящей поверхности рупора; S — направление касательной к контуру С; п — направление нормали к С, лежащей в касательной плоскости единичной сферы.
Для конического рупора контур С определяется уравнением ft=Y> а dV/dn можно заменить на dV/dft. В этом случае согласно § 23
Q-рт (cos ф) cos m ф ^ Q^ рт (cos ф) s jn т ф (57.07)
Таким образом, для конического рупора переменные полностью разделяются: функции U и V представлены в виде произведения трех функций: г, ft, ф. Индекс т в формулах (57.07) должен быть целым (т = 0, 1, 2, ...), поскольку поле должно быть однозначным в области (57.01), т. е. не изменяться при замене ф на ф±2л. Однако индекс V, вообще говоря, не будет целым: он определяется из граничных условий (57.06). Для электрических волн индекс v удовлетворяет уравнению
PJ (cos у) = О ; (57.08)
для магнитных волн обозначаем индекс через р, и имеем для него уравнение
(COSY) = O. (57.09)
d #
Через Pvm(Cosft) обозначена присоединенная функция Лежандра, принимающая при $=0 конечные значения. Она выражается через функцию Лежандра Pv(COsft), удовлетворяющую уравнению ,<23.12) и условию Pv(I) = I, посредством формулы (23.13). Поскольку V И H не ЯВЛЯЮТСЯ целыми, функции Pv И Pf1 не будут полиномами, и Pvm отличны от нуля при любых т.
Уравнение (57.08) дает последовательность чисел vmn (п= 1, 2, ...), зависящих от угла у, а уравнение (57.09) — другую последовательность чисел Цтп (л='1, 2, ...), также зависящих от у. Эти числа являются, по существу, собственными значениями данной граничной задачи: это — положительные числа, которые распо-
209 лагаются (при фиксированном т) в порядке возрастания, причем лишь, как исключение, они могут быть целыми числами.
Если возьмем число V=Vmn и соответствующую функцию U по формулам (57.04) и (57.07), то получим электрическую волну, которая называется волной Emn в коническом рупоре. Аналогично число P = Pmn и функция V определяют магнитную волну Hmn в коническом рупоре.
Волны Emn и Hmn в коническом рупоре весьма похожи на волны тех же номеров в круглом волноводе. Так как конический рупор есть, в сущности, постепенно расширяющийся круглый волновод (расширение происходит равномерно по всем сторонам, в отличие от секториального волновода), то эти волны Emn и Hmn являются сферическими волнами. Фазовая скорость распространяющихся волн, соответствующих функциям t,v(kr) и ?,n(kr), зависят от г; более того, каждая из этих волн является распространяющейся лишь при достаточно больших г, а при меньших г данная волна имеет затухающий характер. При г—>-оо фазовая скорость всех волн стремится к с, что непосредственно следует из асимптотических формул (23.08).
Между волнами Emn и Hmn в коническом рупоре и круглом волноводе может быть установлена и аналитическая связь, а именно при больших V имеют место асимптотические выражения
дающие качественно правильные результаты и при конечных v. Отсюда легко установить приближенную связь между числами vmn и pmn. введенными выше, и так же обозначенными числами, введенными в § 42.
Если круглый волновод переходит в конический рупор, то вол-новодная волна, приходящая к горлу рупора, почти нацело преобразуется в соответствующую рупорную волну. То же самое происходит« в горле секториального рупора (см. § 56).
В биконическом и пирамидальном рупорах также существуют электрические и магнитные волны, поля которых могут быть вычислены с помощью функций U и V. Выражения для этих функций получаются, однако, более сложными, чем для конического рупора (см. задачи 1 и 2).
