Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Вследствие продольности звуковых волн они могут распространяться по трубам (акустическим волноводам) сравнительно малого диаметра при любой длине волны. Действительно, звук распространяется по трубе в виде «поршневой» волны, т. е. в виде продольной плоской волны, ограниченной со всех сторон стенкой трубы и бегущей вдоль оси трубы со скоростью звука в свободном пространстве. Если радиус трубы а мал по сравнению с длиной волны X, то из открытого конца трубы излучается лишь незначительная часть мощности набегающей поршневой волны и ее коэффициент отражения близок к единице. Таким же свойством обладает поперечная электромагнитная волна в коаксиальной линии (§ 35). Расчеты показывают, что по мере увеличения отношения а/К коэффициент отражения поршневой волны от открытого конца трубы уменьшается довольно быстро, в то время как направленность излучения растет (при ajX<. 1) медленно. То же справедливо и для рупора.
С рупорами для электромагнитных волн дело обстоит как раз наоборот. Рассмотрим волну Hn в круглом волноводе, обладающую наибольшей критической длиной волны и дающей при излучении из открытого конца диаграмму направленности с максимумом в направлении «прямо вперед» (подобно поршневой волне в акустике). Волна Hn может распространяться при ka> 1,841 (см. § 42), и уже при 2 коэффициент отражения мал. Поэтому при частотах, лишь немного превышающих критическую частоту, волновод сам по себе хорошо согласован с открытым пространством. Рупор улучшает это согласование лишь в незначительной степени, но зато направленность излучения он увеличивает существенно.
§ 55. «Электрические» и «магнитные» волны
в секториальном рупоре
Исследуем электромагнитные волны в секториальном рупоре, векториальный рупор расширяется лишь в одном поперечном измерении (рис. 56). Если ввести цилиндрическую систему Г, ф, Z, то боковые стенки рупора, образующие между собой двухгранный угол а, могут быть совмещены с координатными плоскостями <р = 0 и <р = а, а верхняя и нижняя стенки рупора — с плоскостями Z=0 и z = l, где I — высота секториального рупора.
198 Рис. 56. Секториальный рупор
Электромагнитные волны, существующие в секториальном рупоре, могут быть, подобно волнам в волноводе, разбиты на два класса — на электрические и магнитные волны. Это разбиение производится относительно координаты г: электрические волны имеют ЕгФ0, Hz=0, у магнитных Ez = 0, НгФ0. Так как координата 2 не совпадает с направлением
распространения волн в рупоре (последние являются цилиндрическими волнами и движутся в направлении радиальной координаты г), то данное разбиение физически не соответствует волноводной классификации, поэтому в дальнейшем применительно к сектори-¦альному рупору термины «электрическая» или «магнитная» волна будем употреблять в кавычках.
Поля «электрических» волн в секториальном рупоре вычисляются по формулам (18.03) с помощью электрического вектора Герца, имеющего единственную составляющую Пе2 (Пеж = Пеу = 0). Если переписать эти формулы в цилиндрической системе координат, то получим
Er =
а2 П®
дгдг
E -± І-» ф — ^^
dq> dz
E,=
Hr =
ik dUez
Hm = І k-
дП?
Hz = 0.
/г2 Щ,
(55.01)
г д ф ^ дг
Отсутствие составляющей Hz оправдывает название «электрическая» волна.
Функция Пе2 должна удовлетворять волновому уравнению, которое в цилиндрической системе координат имеет вид
a2nz , і дпг , і а2пг , аап2
ага
дг
аф2
dz2
П, = 0.
(55.02)
На стенках рупора, которые считаем идеально проводящими, должны выполняться граничные условия
Et= E9 = 0 при 2 = 0, г = /; Er = Ez = 0 при <р = 0, <р = а.
(55.03)
Эти условия могут быть выполнены, если функция Пе2 удовлетворяет граничным условиям
д1й/дг=0 при г = 0, 2 = /; П*=0 Функцию Пе2 ищем в виде
при ф ¦= 0, ф = а. (55.04)
IIez = R (г) Ф (у) Z (Z).
(55.05) 199 Применяя метод разделения переменных к уравнению (55.02), для функций R, Ф и Z получаем уравнения
d*R , _i_ d?_+/h2--о, h2 = k*—g\ (55.06)
г dr \ г* J
drа
'.VаФ = 0, + Z-0.
гіф» Л»
Здесь V2 и g2 суть две постоянные разделения. Согласно условию (55.04)
dZJdz = 0 при Z=O, z=l,
откуда
Z = COsgz, g=Unjl (п=0, 1, 2, ...,). (55.07)
Так как согласно второму условию (55.04) Ф = 0 при ф = 0, ф = а,
то
<J> = sinv(p, v = mn/a (m=l, 2, ...). (55.08)
Общее выражение для функции R имеет вид R = CJv (hr) + С' Nv (Ar). (55.09)
В этих формулах обозначения несколько изменены по сравнению с § 22, где также рассматривались цилиндрические волны.
Обобщая волноводную терминологию, можно назвать g — поперечным волновым числом, ah — продольным (или радиальным) волновым числом, поскольку h определяет зависимость поля от радиальной координаты, вдоль которой происходит распространение волн. Если рассматриваются волны, бегущие в радиальном направлении от его вершины, то нужно положить С' = \С, и тогда R= С НУ (hr). (55.10)
Окончательно получаем
Пге = CH^ (hr) sin V ф cos , (55.11)
V= тл/а (т=\, 2,...), h = Vk2-(п л//)2 (п = 0, 1, 2,«.)
