Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В этих выражениях, в отличие от (51.07), интегрирование производится по дуге контура С, являющегося линией пересечения стенки волновода с плоскостью z = const. Выражения (51.12) дают потери на единицу длины оси z, поэтому в них фигурирует не элемент площади dS = dsdz, как в § 26, а элемент дуги ds.
При применении формулы (51.12) плотность квазиповерхностного тока I и потери в стенках точно не известны. Не известна также активная мощность 2, переносимая волной при конечной проводимости стенок. Действительно, эти величины точно известны только тогда, когда электродинамическая задача о волноводе с неидеальными стенками решена строго, а в таком случае известны электромагнитное поле и волновое число h и в применении формулы (51.11) нет необходимости (см. задачу 1).
Поэтому формулу (51.11) применяют обычно для приближенного расчета коэффициента затухания, подставляя в нее величины, образованные с помощью известного решения задачи о волноводе с идеально проводящими стенками. Активная 'мощность 2 волноводной волны вычисляется по формулам § 44, а мощность потерь P рассчитывается по формуле (51.12), в которой магнитное поле H берется для идеального волновода или, что то же, в формулу (51.12) вместо I подставляется поверхностная плотность тока і на идеально проводящей стенке волновода.
Этот расчет основан на том, что вследствие малости параметра ? структура поля внутри волновода мало изменяется при замене идеально проводящих стенок стенками с хорошей, но конечной проводимостью (см. выше). Поэтому, рассчитывая коэффициент затухания h" по формуле (51.11), можно в первом приближении пренебречь возмущением поля внутри волновода, вплоть до самой поверхности стенки. В стенке поле изменяется сильно, так как при конечной проводимости в ней образуется скин-слой, приводящий к потерям. Плотность квазиповерхностного тока в скин-слое определяется тангенциальной составляющей магнитного поля на поверхности стенки; последняя приравнивается тангенциальной составляющей магнитного поля на поверхности идеально проводящей стенки.
Л"= Я/22 ,
(51.11)
(26.10), т. -е.
(51.12)
186 Изложенный способ расчета часто называют методом скин-эффекта. Он является разновидностью метода возмущений и применяется в других случаях, например, при расчете декремента затухания объемных резонаторов (ом. гл. XV). Можно сказать, что в данном методе принимается во внимание лишь превращение поверхностного тока на идеальном проводнике в квазиповерхностный ток реального проводника и выделение тепла этим квазиповерхностным током.
Рассчитаем сначала коэффициент затухания электрических волн в волноводе произвольной формы. Формулы § 44 дают
+ ~ *) dS. (51.13)
с
2 = j- hk 1 ( 8я s,\
д Пе
дх
Преобразуем подынтегральное выражение, используя уравнение (39.03):
|дП/дх|2 + |дП/<Зг/|2 = gradП-grad n* = div (П* gradll)—П*ДП = = div (П* grad П) + g2 |П|2, ДП = <Э2 Щдх2 + д2 Uldyi.
Применяя теорему Гаусса — Остроградского, получаем
I
ап
дх
+
ап
ду
dS
д П
П*^ds + g2 Г |П|2 dS. (51.14)
дп J
Вследствие граничного условия (39.06) интеграл по контуру С равен нулю и формула (51.13) принимает вид
2= — 21 8я
hkg2 f I Г1е 12 dS
(51 15)
Для электрических волн |[nH]|2^ |Я,|2 = ?2 |д№/д/г|2,
(51.16)
поскольку составляющая H в направлении х или у по формулам (39.05) пропорциональна производной функции Пе в перпендикулярном направлении. Считая для простоты, что материал стенок обл'адает всюду одними и теми же электромагнитными параметрами (? = const), получаем погонную мощность потерь в виде
P= _?_ ? & 8я
апе
дп
ds,
а коэффициент затухания (31.11)
/г" = ?'х2/2/г, где для сокращения обозначено
в виде
апе
дп
ds/g2 j |Пе|2 dS.
(51.17)
(51.18)
(51.19) ISf Активная мощность, переносимая магнитной волной, дается формулой
2 =
8я
hkg2 J |Пт I2 dS,
(51.20)
аналогичной формуле (51.15). Здесь также используется соотношение (51.14) для функции Пш, причем интеграл по контуру С исчезает вследствие граничного условия (40.03). Согласно формулам (40.02) имеем
2
IlnHlI2=ItfiI2:
I^sl2+ \Hz\2 = h2
OTm ds
+ (Sr2IIlt1
(51.21)
где Hs — составляющая магнитного поля вдоль касательной к контуру С.
Наличие двух членов в правой части этой формулы объясняется тем, что в магнитных волнах поверхностная плотность тока имеет как продольную составляющую, пропорциональную Hs (первый член), так и поперечную составляющую, пропорциональную Hz (второй член). У электрических волн токи текут лишь в продольном направлении (см. § 42), и поэтому в правой части формулы (51.16) имеется лишь один член.
Если не зависит от s, то формулы (51.12) и (51.21) дают
дПт
P = — С
8я
h2
ds
+ Sr4Itt
т |2
ds.
(51.22)
Коэффициент затухания магнитных волн также можно записать в виде (51.18), но теперь
и2 = К2 & зпт
J ds
ds + g* (6 |ПП
ds
kg2\ |nm|2dS. (51.23)
Напомним еще раз, что во всех этих формулах g и h (а также Пе и Пт) относятся к идеальному волноводу.
