Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение остановимся на вырождении волн в прямоугольном волноводе. В граничных задачах бывают случаи, когда две или больше собственных функций соответствуют одному и тому же собственному значению. Это явление называется вырождением, а такие собственные значения называются вырожденными (кратными).
С такими случаями мы встречаемся в граничной задаче для электрических волн — при решении уравнения (39.03) с условием )(39.08), или в граничной задаче для магнитных волн — при решении уравнения (39.03) с условием (40.03). Если будем для собственных значений этих задач писать последовательности g21, ^22,... и приписывать каждому собственному значению одну собственную функцию, то при вырождении эти последовательности будут иметь одинаковые элементы. В прямоугольном волноводе с соизмеримыми сторонами а и b (т. е. когда отношение afb является рациональным числом) всегда будет вырождение. В частности, в квадратном волноводе, при а=Ь, волны Emn и Enm (тфп) будут иметь одинаковые собственные значения, хотя распределения их полей в пространстве не совпадают.
Если рассматривать задачу об электромагнитных волнах в волноводе как одну граничную задачу, то для прямоугольного волновода характерно особое вырождение, которое можно назвать вырождением E—Н. Оно заключается в том, что поперечные волновые числа для волн Emn и Hmn совпадают и, таким образом, все собственные значения, соответствующие волнам Emn, являются 148 вырожденными. Невырожденные собственные значения могут иметь лишь волны Hmо и H0n, так как электрические волны с теми же индексами не существуют. В частности, при а>Ь собственное значение g=n/a для волны Яю является всегда невырожденным.
Отмеченное вырождение E—H в прямоугольном волноводе приводит к тому, что вместо волн Emn и Hmn в качестве основных решений уравнений поля можно брать любые линейные комбинации этих волн. В частности, можно составить такие линейные комбинации, для одной из которых Ехф0, Hx=0, а для другой Нхф =7^0, Ex=Q. Эти новые волны также можно назвать «электрическими» и «магнитными», но теперь эта классификация производится относительно оси X. Можно показать, что эти новые волны могут быть получены с помощью электрического и магнитного векторов Герца, имеющих по одной составляющей Пеж и Tlmx.
Здесь не будут рассматриваться соответствующие формулы, так как в дальнейшем они не понадобятся (см., однако, § 56). Заметим, что вырождение E—H їв .волноводах другой формы, например в круглых, места не имеет.
§ 42. Система волн в круглом волноводе
Рассмотрим электрические и магнитные волны в волноводе с круговым поперечным сечением радиуса а или, кратко, їв круглом волноводе. Для решения двухмерного волнового уравнения (39.03) внутри круглого волновода введем полярную систему координат г, ф с центром на оси волновода, после чего оно примет вид
?П+_!_1П+_1.?П+в.П = 0. (42.01)
дг* т дг г* Э(р2 S V '
Решения этого уравнения были исследованы в § 22. Оіни имеют вид
П = CJm [gr) cos пир или П = CJm (gr) sin m<p, (42.02)
где С — постоянная, а т — любое целое число, включая нуль; если т = 0, то второе решение (42.02) обращается в нуль и существует только одно решение IL=CJ 0(gr). Заметим, что функции Nm{gr) или Hrri-1,2Hgr) в данной задаче использовать не можем, так как они принимают бесконечные значения при г=0.
Так как функция Пе должна удовлетворять граничному условию Пе=0 при г=а, то для поперечного волнового числа g электрических волн в круглом волноводе получаем уравнение
Jm(ga) = 0. (42.03)
Обозначим п-й положительный корень уравнения Jm(v) = 0 через Vmn, тогда для электрических волн возможны значения g=vmn!a. Электрическая волна с таким g, функция Пе которой определяется формулами (42.02), называется волной Emn в круглом волноводе.
Функция Пт для магнитных волн в круглом волноводе также Должна удовлетворять уравнению (42.01) и поэтому представляется в том же виде, что и функция П в формулах (42.02). Гра-
149 ничное условие для нее имеет вид сЩт/<?г=0 при г=а, поэтому поперечное волновое число g магнитной волны должно удовлетворять уравнению
J'miga)= 0. (42.04)
Если через Цтп обозначить п-й положительный корень уравнения /'т(ц)1—0, то возможные значения g для магнитных волн в круглом волноводе имеют вид g=llmn/a- Такое волновое число по определению соответствует волне Hmn в круглом волноводе. Здесь не будут приведены таблицы величин vmn и Цтп, определяющих поперечные волновые числа волн в круглом волноводе. Заметим, что числа Vmi, Vm2,... и p,mi, |лт2,... образуют возрастающие последовательности, в которых наибольший интерес представляют числа Vmi и Цгпі, соответствующие наименьшим значениям g и, следовательно, наибольшим значениям критических длин волн А,о. Приведем таблицу значений Ao для наиболее важных волн в круглом волноводе.
Таблица 1
Волна Eoi Eii Ezi H oi Hil #21
X0/2а 1,31 0,82 0,61 0,82 1,71 1,05
Из табл. 1 видно, что наибольшее значение Ao соответствует магнитной волне Нц\ для нее -критическая длина волны равна 1,71 диаметра волновода. Функция Пт волны Hu определяется формулой
