Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
g2=(mn/a)*+(nn/b)2. (41.11)
Заметим, что ни одно из чисел т или п нельзя брать равным нулю, так как это приводит к функции (41.10), тождественно равной інулю. Если же взять в качестве т или п отрицательное целое число, то нового решения не получим, так как это приведет лишь к изменению знака постоянной Ce в формуле (41.10).
Собственные функции (41.10) и собственные значения (41.11) исчерпывают все возможные решения граничной задачи. То же самое относится к полученному ниже решению граничной задачи для магнитных волн.
Собственная функция (41.10) и собственное значение (41.11) определяют электрическую волну, которая называется волной Emn в прямоугольном волноводе.
Граничная задача для магнитных волн решается аналогичным образом: ищем функцию Пт, которая должна удовлетворять двухмерному волновому уравнению (39.03) в виде произведения (41.01). Рассуждая такиїм же образом, ікак и выше, получаем для функций X VL Y уравнения .(41.04) и общие решения (41.06). Однако
143 граничные условия в этом случае будут иные, так как в силу формулы (40.03) должно быть
при х = 0 и х = а, -?^-=0 при i/ = 0 и у = Ь,
(41.12)
поэтому
dXj'dx=0 при х=0, откуда gxA2=0; dXfdx=0 « х=а, « gvljsin (gxa) =0; dY/dy=0 « у=0, « gyB2=0-, dYfdy=0 « y=b, « gyBismigyb) =0.
Таким образом, для получения нетривиального решения граничной задачи необходимо выбрать числа gx и gv, удовлетворяющие тем же самым уравнениям (41.08), которые были получены выше для электрических волн. Поэтому возможные значения gx и gy по-прежнему определяются формулами (41.09) с тем лишь отличием, что индексы тип могут быть также равными нулю. Действительно, например, при т = 0 имеем X=Aі и функция Пт=ХУ в нуль не обращается.
Окончательно получаем собственные функции
Пга =Cmcos^bLcos т, п = 0,1,2... (41.13)
а Ь
й собственные значения
g2=(mn[a)2-\-{nn/b)2. (41.14)
Они определяют магнитную волну, которая называется волной Hmn в прямоугольном волноводе.
Заметим, что среди магнитных волн в волноводе имеются волны Ню, H2о,..., H01, Я02,..., однако волна H0о, у которой оба индекса равны нулю и g2=0, отсутствует, так как по формулам (40.02) такой волне соответствовало бы электромагнитное поле, равное тождественно нулю. Отметим также, что поле волны Hi0 (а также волн H2о, H30,...) не зависит от координаты у. Подобная ей волна Eiо не может существовать по следующей причине: поле такой волны не должно зависеть от координаты у, но так как при у=0 и у=Ь должно быть Ez== 0, то вследствие независимости Ег от у составляющая Ez должна тождественно обращаться в нуль. А это означает, что такой волны нет.
Рассмотрим структуру электромагнитных полей. Простейшая электрическая волна в прямоугольном волноводе есть волна En, у которой 7
П® = Ce sin sin —(41.15) ab v '
Построим линии уровня функции Пе. Так как в центре прямоугольника при *=а/2и у=Ы2 функция Пе принимает максимальное значение, то вблизи него линии уровня имеют вид эллипсов, цент-144 ры которых совпадают с центром прямоугольника, а полуоси направлены по осям к VL у vi относятся как а:Ъ. По мере увеличения размера эллипса форма его искажается и он начинает все больше походить на прямоугольник со слегка закругленными углами. Наконец, линия уровня Пе=0 есть не что иное, как сам периметр прямоугольника. Изображенные ,на рис. 35,а штриховые линии Пе = = Const по общим соображениям § 39 (см. рис. 32) дают силовые линии магнитного поля, а перпендикулярные к ним сплошные кривые на рис. 35,а дают электрические силовые линии.
Полученная картина силовых линий в волне Eu напоминает коаксиальную линию передачи (см. рис. 18,а). Создается такое впечатление, как будто в центре прямоугольного волновода находится проводник, на котором кончаются электрические силовые линии, а ток в проводнике охватывается кольцеобразными магнитными силовыми линиями. Однако сходимость силовых линий к центру прямоугольного сечения волновода кажущаяся, так как на самом деле электрические силовые линии — пространственные, а на рис. 34,а даны лишь их проекции на плоскость поперечного сечения. Если учесть, что по третьей формуле (39.05) составляющая Ez имеет максимальное значение в центре прямоугольника, то ясно, что вблизи центра силовые линии электрического поля идут в осевом направлении. Изменяющемуся во времени продольному электрическому полю соответствует ток смещения, направленный по оси волновода; именно этот ток смещения и охватывается магнитными силовыми линиями, изображенными на рис. 35,а.
Силовые линии электрического поля распространяющейся волны En в продольном сечении у, г изображены на рис. 35,6, из которого видно, что силовые линии начинаются на стенках и идут сначала перпендикулярно этим стенкам — в плоскости поперечного сечения. Затем, приближаясь к оси волновода, они отходят от этого сечения, идут в основном параллельно оси волновода и кончаются опять на стенке, подходя к ней под прямым углом в плоскости другого поперечного сечения. Картина силовых линий в плоскости продольного сечения обладает периодом, равным длине волны в волноводе А.
