Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вайнштейн Л.А. -> "Электромагнитные волны" -> 57

Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.

Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны — М.: АСТ, 1988. — 440 c.
Скачать (прямая ссылка): elektromagnitnievolni1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 182 >> Следующая


Из сказанного следует, что, построив линии уровня nm=const, тем самым получим электрические силовые линии, которые являются плоскими кривыми, целиком лежащими в плоскости поперечного сечения. Проводя линии, им ортогональные, получаем магнитные силовые линии в плоскости поперечного сечения, точнее проекции магнитных силовых линий на эту плоскость.

Данная граничная задача для функции Пт имеет нетривиальное решение лишь при некоторых собственных значениях g21, g22..... образующих ее спектр (вообще говоря, отличный от спектра задачи, рассмотренной в § 39). Эти собственные значения также образуют возрастающую (точнее, неубывающую) последовательность. Каждому собственному значению g2 соответствует некоторая собственная функция Пт, дающая распределение поля данной магнитной волны, и продольное волновое число ±Vк?—g2-

Для магнитных волн соотношения (39.09) — (39.11) также справедливы, в частности распространение или затухание данной волны имеет место в зависимости от соотношения между рабочей длиной волны А и критической волной Ao; последняя зависит лишь от геометрии поперечного сечения и от номера магнитной волны.

Заметим, что в число собственных значений не включено значение g2=0, которому соответствует собственная функция Пт= =Const, удовлетворяющая уравнению (39.03) и условию (40.03). Действительно, такая собственная функция приводит по формулам (40.02) к электромагнитному полю, тождественно равному нулю, и потому не представляет интереса.

В § 41 и 42 применим развитую здесь общую теорию магнитных волн к волноводам частного вида — прямоугольному и круглому.

Изложенная выше теория электрических и магнитных волн в велноводах показывает, что потенциалы облегчают решение электродинамических задач. В самом деле, с помощью электрического и магнитного векторов Герца задача об электромагнитных волнах в волноводе произвольного поперечного сечения сведена к Двум граничным задачам для двухмерного волнового уравнения. Эти задачи давно исследованы в связи с другими физическими проблемами. Например, можно показать, что теория собственных

141 колебаний мембраны, натянутой на жесткий контур С (см. рис. 31), сводится к уравнению (39.03) с граничным условием (39.08). Другая граничная задача (для магнитных волн) имеет скорее математический смысл: она соответствует мембране, ограниченной свободным контуром С. Критические длины волн — это резонансные длины волн таких мембран.

Найдены два класса частных решений, соответствующие электрическим и магнитным волнам. Разумеется, из данного изложения еще не следует полнота полученной системы волн: не доказано, что в волноводе других волн не существует. Однако можно показать, что система электрических и магнитных волн действительно является полной. Свойство полноты означает, что при любом способе возбуждения поля в волноводе оно представляется вне возбуждающих источников в виде суммы (точнее, ряда) электрических и магнитных волн, изученных выше.

§ 41. Система волн в !прямоугольном волноводе

Выберем начало координат в одной из вершин прямоугольного поперечного сечения и направим ось х вдоль большей стороны а, а ось у— вдоль меньшей стороны b прямоугольника (рис. 34).

Будем искать решение двухмерного волнового уравнения (39.03) для электричеоких ®олн !методом разделения переменных: а именно напишем для функции Пе выражение

П-(X, у) =X(х) Y(у) (41.01)

и подставим его в уравнение (39.03). После деления обеих частей уравнения на произведение XY получим

±?x.+JL*L + f-b (41.02)

X idx* Y dy2 & '

Из последнего соотношения следует, что как (d2XJdx2)/X, так и Id2Yfdy2)/Y должны быть постоянными величинами; обозначим эти постоянные соответственно через —g2x и —g2y. Таким образом,

^d2Xfdx2) fX=-g2x, (d2 Yfdy2) jY=—g2v (41.03)

или

' g2xX = 0, = (41.04)

где в силу соотношения (41.02) должно выполняться равенство

g\+g2y=g\ (41.05)

которое можно рассматривать как продолжение разложения (39.05), а именно разложение поперечного вектора g на составляющие gx и gv, каждая из которых определяет Рис. 34. Прямоугольный зависимость потенциалов и полей от попе-волновод речной координаты х или у.

142 Общие решения уравнений (41.04) имеют вид X=^icos (gxX) +A2Sin (gxx), Y=Bicos (gvy) +B2sm(gvy),

(41.06)

где Ai, A2, Bi и B2 суть произвольные постоянные. Функция Пе должна удовлетворять граничному условию (39.06), поэтому

Пе=0 при х=0 и х=а, у=0 и у=Ь (41.07)

и функции X и Y должны удовлетворять следующим соотношениям: Z=O при х=0, откуда Лі = 0;

X=O « X=а, « Лгвіп (gxa) =0;

У=0 « у=0, « ?i = 0;

У=о « у=Ъ, « ?2sin (gyb) =0.

Для того чтобы получить нетривиальное решение граничной задачи, необходимо выбрать числа gx и gy так, чтобы они удовлетворяли уравнениям

sin(^a)=0, Sin(Ifyfr) =0, (41.08)

т. е. взять

gx=mn/a, gy=nn/b, (41.09)

где т и п суть целые числа 1, 2, 3, ... Таким образом получаем собственные функции данной граничной задачи в виде

Пе = Cesin-i^sin, т, п = 1,2,..., (41.10)

а Ь

где Ce — произвольная постоянная. Собственная функция (41.10) соответствует по формулам (41.05) и (41.09) собственному значению
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 182 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed