Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 32. Электрическое и магнитное поле электрической волны в поперечном сечении Z = Const IPj (*, у). Эта функция по формулам (39.05) дает распределение электромагнитного поля некоторой электрической волны, а продольное волновое число — зависимость этого поля от координаты г.
Формула (39.04) показывает, что значение A2 может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае получаем волну с вещественным волновым числом
Эта волна распространяется ійдоль волновода без затухания, так как потерями в стенках волновода пренебрегаем и считаем их идеально проводящими. Во втором случае волновое число Л получается чисто мнимым:
и волна затухает, не распространяясь. Это затухание не связано, разумеется, с какими-либо потерями (см. § 44).
Исследуем подробнее, при каких условиях данная волна в волноводе распространяется, а при каких затухает. Для этого положим k=2nfX, где в соответствии с формулой (12.02) X есть длина волны в свободном пространстве. Будем далее считать, что волна распространяется, возьмем в формуле (39.09) знак плюс и введем длину волны в волноводе А по формуле h=2n/A. Длина волны Л определяет периодичность поля распространяющейся волны по оси z. Если так же определить критическую длину волны Ao по формуле g,=2nAo (считаем g>0), то соотношение (30.09) примет вид
Данная волна является распространяющейся только при А<САо, т. е. когда длина волны меньше критической. Если же, наоборот, длина волны больше критической (А>Ао), то волна является затухающей и ее волновое число определяется формулой (39.10). О длине волны в волноводе в этом случае вообще говорить нельзя, так как поле не имеет периодической зависимости от г.
Критической длинои волны Ao называется потому, что при непрерывном изменении А при A=Ao происходит качественное изменение— данная волна из распространяющейся становится затухающей или наоборот.
Каждое собственное значение g2 определяется лишь геометрией поперечного сечения волновода — его размерами и формой. То же относится и 1k 'критической длине волны Ao- С другой стороны, продольное волновое число h определяется как частотой (или длиной волны X), так и геометрией поперечного сечения.
В § 41 и 42 изложенная выше общая теория электрических волн в волноводе с произвольным поперечным сечением будет применена к волноводам с прямоугольным и круговым сечениями.
h=±v k2—g\
(39.09)
h=±iVg2—k2
(39.10)
(39.11)
139 § 40. Магнитные волны в волноводах
Для волноводов произвольного поперечного сечения можно найти еще один класс частных решений. Эти решения выражаются через магнитный вектор Герца с составляющими
п™ = П™ = О, П™ = Пт (X, у) еiftz, (40.01)
подобными составляющим (39.01). С помощью формул (18.08) легко можно вычислить электромагнитное поле, соответствующее вектору (40.01), а именно
dir
Ex = ik
Hx = Vi
ду
апш
дх
Mz
^ihz
Ey =
. , д Пт ¦ik е
ihz
дх
Ez = 0,
и • и & Пш Ну = і h -щ е
(40.02)
iftz
Hz = g2 IT elhz.
Отсюда видно, что магнитный вектор Герца (40.01) определяет электромагнитное поле, у которого продольная составляющая Ez равна нулю. Поэтому выражения (40.02) определяют поле магнитной волны по классификации § 38. Через g здесь обозначено поперечное волновое число магнитной волны, а через h — ее продольное волновое число; эти волновые числа связаны соотношением (39.04).
Магнитный вектор Герца Пт должен удовлетворять волновому уравнению (18.09). Отсюда получаем для функции Пт(х, у) двухмерное волновое уравнение, подобное уравнению (39.03). Для того чтобы электромагнитное поле (40.02) удовлетворяло граничному условию .Es=O на стенке волновода, необходимо и достаточно,, чтобы функция Пт удовлетворяла граничному условию
= 0 на С, (40.03)
где С есть тот же контур, что и в условии (39.06), а дИт/дп есть производная функции Пт по нормали.
Действительно, если на плоскости х, у проведем линии уровня nm=const, то магнитные силовые линии согласно формулам (40.02) будут ортогональны к этим линиям уровня. Так как из формул (40.02) опять вытекает соотношение (39.08), указывающее на перпендикулярность электрического и магнитного полей в
каждой точке пространства, то электрические силовые линии будут совпадать с линиями уровня nm=const (рис. 33). Поэтому линии уровня IIin = COnst должны подходить к контуру С !ПОД !Прямым углом; это значит, что при движении по нормали к контуру С сначала останемся на той Рис. 33. Электрическое и маг- же линии уровня, а это равноценно витиое поле магнитнои волны в " ' ,,„ м
поперечном сечении Z=Const граничному условию (40.03).
140
Ffnm = COnst) . Более строго граничное условие (40.03)' выводится следующим образом. Так как в магнитной волне Ez=0, то на стенке волновода должна обращаться в нуль лишь касательная к -контуру С составляющая электрического поля
+ (40.04,
Так как единичная нормаль п к контуру С имеет составляющие пх=—dylds и tiv=dxjds, то
= Ц я. + T ) Єі" = lkJ& (40-05)
и требование Ea=0 приводит к граничному условию (40.03).
