Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Оказывается, что все электромагнитные волны в волноводе могут быть разбиты на два класса в зависимости от того, какое поле имеет продольную составляющую — электрическое или магнитное. Если электрическое поле данной волны имеет продольную составляющую, а магнитное не имеет таковой, то волна условно называется электрической. Если магнитное поле имеет продольную составляющую, а электрическое ее не имеет, то волна именуется магнитной. Таким образом, обозначая через z координату, отчитываемую вдоль волновода, имеем для электрических волн Ez-ФО, Hz=0, а для магнитных волн Нгф0, Ez=0.
Напомним: в § 29 было показано, что распространение волн со скоростью с и с поперечной структурой поля внутри волноводов невозможно. Поэтому неудивительно, что волны в волноводах так сильно отличаются от волн, рассмотренных в § 29.
Теоретическое исследование электромагнитных волн в волноводах проведем сначала в предположении, что стенки волновода обладают идеальной проводимостью и внутри волновода — пустота. От этих ограничений освободимся только в гл. IX.
§ 39. Электрические волны в волноводах
Будем искать частные решения уравнений электромагнитного поля внутри волноводов с произвольным поперечным сечением. При этом рассмотрим бегущие волны, точнее предположим, что
136
Рис. 31. Поперечное сечение волновода, ограниченного контуром с зависимость всех комплексных амплитуд электромагнитного поля от Z определяется множителем е"12, где h — пока неизвестное продольное волновое число.
Легко показать, что целый класс таких решений может быть получен с помощью электрического вектора Герца с составляющими
Щ = Щ = 0, 1? = № (*, у) е"12. (39.01)
Электрический вектор Герца должен удовлетворять волновому уравнению (18.04), поэтому для составляющей IIez будем иметь уравнение
яа TJe д2 Пе г)2 Пе
UL + L^i + lif?+A«№ = 0 (39.02)
дх2 ду* дг* г
или для функции Пе (X, у)
if + ^T + г2 П' = о, g= VW=W. (39.03)
Заметим, что g естественно назвать поперечным волновым числом. Волновые числа g и h связаны с k (волновым числом в свободном пространстве) соотношением
g*+h*=ka, (39.04)
показывающим, что g и h можно рассматривать как проекцию вектора к, имеющего абсолютную величину k, на плоскость поперечного сечения и ось Z соответственно.
Формулы (18.03), примененные к электрическому вектору Герца частного вида (39.01), определяют составляющие электромагнитного поля
Ex = ih— Qihz, Ev = іh — е"12, Ez = g2Пе е"12,
* дх v ду
Hx=-\k— Vhz, Ну = ik е"12, Hz= 0. (39.05)
ду ¦ дх
Таким образом, электрический вектор Герца (39.01) дает электромагнитное поле, не имеющее продольной составляющей вектора H и соответствующее электрической волне по классификации § 38. Разумеется, этот термин не означает, что в данной волне отсутствует магнитное поле: этим только подчеркивается, что магнитное поле не имеет продольной составляющей.
Электромагнитное поле (39.05) удовлетворяет комплексным уравнениям поля, если Пе есть решение двухмерного волнового уравнения (39.03). Граничное условие Et=0 на идеально проводящей стенке волновода будет выполняться, если функция Пе удовлетворяет граничному условию
IIe=O на С, (39.06)
137 где С — контур, получающийся при пересечении внутренней поверхности стенки волновода с плоскостью 2=const. Действительно, согласно условию (39.06) на стенке будем иметь Ez = 0. Кроме того, составляющие электрического поля Ex и Ev отличаются от двухмерного градиента функции Пе(я, у), т. е. от вектора с составляющими дИе/дх и дПе/ду, только постоянным множителем. Поэтому силовые линии электрического поля в плоскости поперечного сечения z=const ортогональны семейству линий уровня Пе= = COnst (ірис. 32) и подходят к стенке, являющейся одной из линий уровня, под прямым углом. Таким образом, граничное условие (39.06) ведет к выполнению граничного условия Et=0.
Более строго связь между этими условиями можно установить» если образовать составляющую
Et = Ex *L + Ey * = Ih ( ^ + ?? ^ = * * ds у ds \ дх ds ду ds )
= ІЛ — eIfe (39.07)
ds
по касательной к контуру С; здесь s — длина дуги вдоль контура С. Полученное выражение показывает, что при выполнении условия (39.06) на контуре С будем иметь Es=0.
Нанеся линии уровня Пе=const, путем построения семейства кривых, им ортогональных, получим картину электрических силовых линий в плоскости поперечного сечения. Точнее, это проекции электрических силовых линий, являющихся трехмерными пространственными кривыми, на плоскость поперечного сечения. Из формул (39.05) вытекает соотношение
ЕхНх+ЕуНу=О, (39.08>
поэтому электрическое поле в каждой точке перпендикулярно магнитному и магнитные силовые линии совпадают с линиями уровня функции Пе(л:, у). Так как Hz=0, то магнитные силовые линии являются плоскими кривыми.
Двухмерное волновое уравнение (39.03) имеет внутри замкнутого контура С отличное от нуля решение Пе, удовлетворяющее граничному условию (39.06), не при любом g2, а лишь при некоторых значениях g21, g22,..., g2j..... образующих спектр собственных значений данной граничной задачи. Величины g2j образуют возрастающую (или, по крайней мере, неубывающую) последовательность положительных вещественных чисел. Каждому собственному значению gj поперечного волнового числа соответствуют два значения продольного волнового числа ±Y k2—g2j, получающиеся из соотношения (39.04), и некоторая собственная функция 138
