Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
92 чение проводника) имеет пластинка толщиной d. Это соотношение с новой точки зрения обосновывает название «толщина скин-слоя» для d: толщина d показывает, какая часть проводника эффективно проводит переменный электрический ток, и определяет активное сопротивление проводника. Иначе говоря, толщина скин-слоя d показывает толщину поверхностного слоя, равномерно заполненного током и имеющего то же активное сопротивление. Что касается реактивного поверхностного сопротивления, то оно численно равно активному и положительно, т. е. поверхностный импеданс имеет индуктивный характер. Физически это объясняется тем, что полный поверхностный ток It отстает по фазе от тангенциальной составляющей поля Et на поверхности проводника. Действительно, лишь плотность тока j на самой поверхности оказывается в силу соотношения j=oE в фазе с поверхностным электрическим полем; токи же в более глубоких слоях проводника отстают по фазе от поверхностного электрического поля из-за того, что в проводнике возбуждается волна, распространяющаяся нормально внутрь проводника.
С помощью теоремы о комплексной мощности можно выяснить энергетический смысл активного и реактивного поверхностных сопротивлений. Обозначая через Ps мощность потерь в проводнике, а через Wvl — заключенную в нем магнитную энергию, приходим (см. задачу 1) к формулам
— ? T|I|2 dS = Pe, — {, x|I|2 dS = aWv
2 j 4 j
(26.10)
показывающим, что активное поверхностное сопротивление г определяет мощность потерь в проводнике, а реактивное поверхностное сопротивление X — магнитную энергию, находящуюся в проводнике. Отметим еще раз, что ток, распределенный по глубине проводника по экспоненциальному закону (сплошная кривая на рис. 14), выделяет то же тепло, что и ток той же величины, равномерно распределенный в слое толщины d (штриховая линия на рис. 14).
Полученное выше общее соотношение можно применить к вычислению погонного сопротивления цилиндрического провода радиуса а при сильном скин-эффекте, т. е. когда выполняется условие d<o. Будем считать, что электрический ток течет вдоль провода, и обозначим через Ez продольную составляющую электрического поля на поверхности провода, а через J — полный ток, протекающий через поперечное сечение провода. По определению погонным внутренним импедансом „ ,. -
___.„„„„ / „ Рис. 14. Распределение тока по глу-
провода (или внутренним им- ^me 3
93 педансом на единицу длины)" называется комплексный коэффициент пропорциональности Zi в соотношении
Ez=ZiJ. (26.111);
При этом предполагается, что поля и токи распределены симметрично. Соотношение (26.11) является непосредственным следствием соотношения (26.06) и того обстоятельства, что при симметрии вращения полный ток J и плотность квазиповерхностного тока Iz связаны между собой формулой
/ = 2na/z, (26.12):
откуда и получаем как соотношение (26.11), так и выражение для погонного импеданса
Zl = R-IaLi= -L = i—L ,R = UL1= -L- . (26.13)
2л а 2 лаоа 2 лааа
Так как реактивное погонное сопротивление имеет индуктивный характер, то оно обозначено через озЬг, где Li — погонная внутренняя индуктивность провода. Погонные параметры провода R и Li согласно формулам (26.10) имеют простой энергетический смысл
-L RlJl2= Pe, -L LiIJl2= Wfl, (26.14)
где Pa и WЦ относятся к единице длины провода.
Погонный импеданс провода Z1- является обобщением понятия погонного сопротивления, вводимого для постоянного тока как отношение падения напряжения на единицу длины провода к току в нем. При вычислении Zi электрическое поле Ez, являющееся естественным обобщением падения напряжения на единицу длины провода, берется на поверхности провода. Основания для этого следующие: во-первых, именно это падение напряжения измеряется вольтметром, присоединенным к различным точкам проводника (по необходимости на его поверхности); во-вторых, только при таком определении импеданса его активная и реактивная части имеют четкий энергетический смысл.
Основные законы скин-эффекта мы получаем, рассматривая возбуждение электромагнитных волн в проводнике. Нужно при этом иметь в виду, что в окружающем пространстве волновые свойства переменного электромагнитного поля могут быть выражены слабо (например, если скин-эффект имеет место в цепи переменного тока), в то время как в проводниках, несущих переменные электрические токи, имеет место сильный скин-эффект и, следовательно, поле имеет резко выраженный волновой характер. Это вызывается тем, что показатель преломления проводника весьма велик, вследствие чего волновые свойства поля проявляются в первую очередь внутри проводников. Например, при X = = 100 м в меди d=0,04 мм и X'^2n/K/=2nd=0,24 мм (см. § 11 и 12). Поэтому в проводе диаметром 1 мм волновые свойства поля
94 выражено сильно, а в окружающем пространстве поле будет квазистатическим, т. е. в каждый момент таким же, как при постоянном токе.
§ 27. Скин-эффект в цилиндрическом проводе
Изучим распределение переменного электрического тока в цилиндрическом проводе радиуса а. Будем считать, что плотность тока и электрическое поле имеют лишь составляющие вдоль оси провода (ось z) и не зависят от координаты г. Кроме того, будем в соответствии с симметрией задачи считать, что распределение тока и поля обладает симметрией вращения. Волновое уравнение, которому должна подчиняться соответствующая Ez внутри провода
