Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 26. Сопротивление проводников при сильном скин-эффекте
Конкретизируем приближенные граничные условия Леонтовича для хороших проводников, не являющихся ферромагнетиками. Комплексные проницаемости таких проводников
е = і4яст/(о, р= 1, (26.01)
их волновой импеданс
^= 1 щ = 0,5 VfJo (1 — і) = Ы(1 — i)/VT (26.02)
Так как |?|<С1, то в самом грубом приближении граничные условия (25.04) переходят для хороших проводников в граничные условия (24.03), соответствующие идеальному проводнику. Граничные условия Леонтовича дают гораздо лучшее приближение к свойствам реального проводника, так как они учитывают проникание поля в проводник и связанные с этим потери, что с помощью понятия идеального проводника непосредственно сделать не удается.
Действительно, для хороших проводников приближенные граничные условия позволяют правильно учесть влияние проводника в первом приближении относительно малого параметра ?=il[п и, как .видно из § 25, дают погрешность порядка 1 In2.
90 Если на поверхности тела, имеющего параметры (26.01) и удовлетворяющего условию (25.01), имеют место приближенные граничные условия (25.02) или (25.04), то можно легко вычислить сопротивление проводника при скин-эффекте. Получаемые результаты справедливы лишь в случае сильного скин-эффекта.
Выразим тангенциальное магнитное поле на поверхности проводящего тела через ток, текущий в его скин-слое. Если толщина скин-слоя равна нулю, то мы имеем поверхностный ток с плотностью і, текущий по геометрической поверхности и связанный с тангенциальным магнитным полем на ней соотношением (24.04). Если же толщина скин-слоя d конечна, то ток не носит поверхностного характера, а распределен по объему. Однако при достаточно малом d можно ввести вектор I, который естественно назвать плотностью квазиповерхностного тока. Вектор I связан с обычной (объемной) плотностью тока j = oE соотношением
Nd
I=J І dz, (26.03)
о
где интегрирование производится по нормали от поверхности тела до глубины Nd (несколько d), ниже которой токами и полями можно пренебречь (с погрешностью порядка е--^). Для вектора I справедливо соотношение
[пН]= —— I. (26.04)
с
Подставляя его в граничные условия (25.04), получаем
[пЕ] = I [nl], S = 15- S. (26.05)
с
Заметим, что соотношение (26.04) в противоположность аналогичному соотношению (24.04) является приближенным и справедливо лишь при достаточно малом d — в той же степени, как и сами граничные условия (25.04). Кроме того, соотношение (26.04) справедливо лишь для хороших проводников, внутри которых можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости и, следовательно, считать комплексную диэлектрическую проницаемость е чисто мнимой, как в формуле (26.01). Действительно, соотношение (26.04) можно вывести обычным способом из первого уравнения поля
rot H='—ikeE, где в силу (26.01)
-JbeE= — гтЕ- — і
Iftob - - U L - - J.
С с
Применяя это уравнение в интегральной форме
§ Hs ds= ^ j jndS ¦
91 к контуру ABCDA, изображенно-му на рис. 13, приходим к соот-
^ Г ношению (26.04), если провести
J-? ^jl- сторону CD на такой глубине Nd,
что полем и током На этой глу-Рис. 13. К выводу соотноше- бине можно пренебречь. Интеграция (26.04) лами по сторонам ВС и DA пренебрегаем на том основании, что толщина скин-слоя мала и нормальные составляющие поля внутри проводника согласно § 16 также малы.
Приближенное граничное условие (26.05), выведенное для хороших проводников, можно также записать в виде
Et = Ot, (26.06)
так что тангенциальное электрическое поле на поверхности проводника и плотность квазиповерхностного тока, текущего по этому проводнику, пропорциональны друг другу. Коэффициент пропорциональности ? естественно назвать поверхностным импедансом проводника. Поверхностный импеданс есть комплексная величина, которую с помощью формул (26.01) и (26.05) легко представить в виде
f= (1-і) Mf, (26.07)
где
d = -— — или d = — л/— (при (26.08)
2я \ ст 2я \ Ofi
есть толщина скин-слоя, определяемая формулой (12.07). Если имеются магнитные потери, так что проницаемость ц, комплексна, то выражение для поверхностного импеданса усложняется и аргумент комплексного числа ? становится отличным от —я/4.
Поверхностный импеданс можно разложить, как и всякий импеданс, на вещественную и мнимую части, т. е.
S = г—Ix (26.09)
и назвать г активным, а х реактивным поверхностным сопротивлением. Заметим, что в теории цепей активное и реактивное сопротивления вводятся по формуле Z = R + IX, но там применяется зависимость от времени в виде еш. Так как у нас взята временная зависимость е~ім', то для получения соотношений при зависимости еш надо во всех наших формулах мнимую единицу і заменить на —і. Поэтому активное и реактивное сопротивления R и X вводятся по формуле Z=R—іX, причем для индуктивности >0, как обычно.
Из формулы (26.07) видно, что активное поверхностное сопротивление проводника при сильном скин-эффекте T=Ifod, т. е. имеет то же значение, какое на постоянном токе, (при отсутствии скин-эффекта, когда ток равномерно заполняет все поперечное се-
