Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вайнштейн Л.А. -> "Электромагнитные волны" -> 34

Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.

Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны — М.: АСТ, 1988. — 440 c.
Скачать (прямая ссылка): elektromagnitnievolni1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 182 >> Следующая


Arr

rot Em = іk Hm -- jm, rot Hm = -ik Em. tb)

с

Уравнения (а), по существу, исследованы в § 17, но векторы Ee, He и je обозначались через Е, H и j. Поэтому, если обозначить через Ae введенный в § 17 векторный потенциал, то поля

Ee = — — (grad div Ae + k2 Ae), He = rot Ae і k

удовлетворяют уравнениям (а); вектор Ae должен удовлетворять волновому уравнению

ДАе + *2Ае=-— Г, с

частное решение которого дается первой формулой (17Л6).

Уравнения (Ь) имеют ту же структуру, что и уравнения (о). Действительно, если произвести (формально) замену

Em-і--He1 Hm-<- Ee1 jm-4e,

то уравнения (Ь) переходят в уравнения (а). Отсюда видно, что, вводя магнитный векторный потенциал Am, определяющий поля по формулам

Em = — rot Am, Hm = — — (grad div Am + /г2 Am)

і k

и удовлетворяющий волновому уравнению 4л

Д Am+ Zfe2Am= —- jm,

с

получаем решение уравнений (6); для Am можно сразу же написать частное решение (17.16). йумма найденных решений дает нам формулы (17.15).

2. Доказать, что функция 1т(х), которая определяется интегралом (22.16) при целом т, удовлетворяет уравнению Бесселя (22.04), а при ее пове-

дение дается формулой ,(22.05). Эти два условия определяют функцию Бесселя.

Решение. Подставляя интеграл (22.16) в уравнение Бесселя, видим, что требуется доказать тождество я

j (X2 COS24- і X sin - m2) е1<*8Іп*-т,М d ф = 0, —л •

83 дл'я чего надо произвести двухкратное интегрирование по частям

^m2eH*sin4>-m4>) = ітеі(*зіпф-тф) + C0S ф ei<*siml>-'ml'> d? =

= і (m + cos ?) ei( jrsin^-miW + j>2 cos2 ф + і * sin ?) e'«*8'^-^) d ?,

и при подстановке пределов внеинтегральный член обращается в нуль, будучи периодическим. Требуемое тождество доказано. Полагая

е'«,п*= 2 (і *)" Sin" ^»/яі Sin == ( е1+— e-'*)/2i,

n=О

легко понять, что в формуле (22.16) первый неисчезающий член будет при гг=ш; при %->-0 он будет главным, т. е.

Jm (х) =](л'/2) т/т\,

в соответствии с формулой (22.05).

3. Проверить, что функция (23.06) удовлетворяет уравнению (23.05), если функция 7V.|_iy2 (X) удовлетворяет уравнению (22.04) при m = v-H/2. Решение. Образуем

ф; =ymj2(j'm + rmj2x), ^ = УяЩ(У„ + J'm/x — Jm/4x»)

(штрих — производная по х; m — v + '/2); тогда

^v + П — V (V + I)/*2] ^v = Y^JJ2 [ j"m + J1miX -f (1 — m2/x2) Jm]= 0.

Глава IV.

ТЕОРИЯ СКИН-ЭФФЕКТА

§ 24. Понятие идеального проводника и граничные

условия на его поверхности

В § 12 отмечалось, что металлы обладают настолько высокой электропроводностью, что при всех радиочастотах их комплексная диэлектрическая проницаемость є имеет весьма большую мнимую часть:

е= і 121 , 12U »1. (24.01)

(О (О

Магнитная же проницаемость металлов по сравнению с є всегда является конечной.

Идеализируя свойства хороших проводников, удовлетворяющих условию (24.01), можно ввести понятие идеального проводника, для которого по определению имеем

Є = іоо, (і — конечно.

84

(24.02) Внутри такого идеального проводника электромагнитное поле тождественно равно нулю, а на его поверхности имеет место граничное условие

Et = 0 или [пЕ] =0, (24.03)

т. е. тангенциальная составляющая электрического поля на поверхности идеального проводника должна исчезать. Что же касается тангенциальной составляющей магнитного поля, то на поверхности идеального проводника она в общем случае не исчезает, а подчиняется соотношению

[nH] = — — і, (24.04)

с

где п — .нормаль к поверхности идеального проводника, направленная внутрь него, а і — поверхностная плотность электрического тока.

В формулах (24.03) и (24.04) через E и H обозначены значения полей в точках, бесконечно близких к поверхности идеального проводника, но лежащих вне его. Эти формулы вытекают из условий (24.02) и добавочного предположения о конечности электрического и магнитного полей. Последнее предположение является с физической точки зрения вполне естественным, так как появление бесконечно больших полей связано с бесконечно большой энергией поля, чего при источниках поля, имеющих конечную мощность, быть не может. В этом случае из первого уравнения поля

rot H = -Ife8E

следует, что внутри идеального проводника Е = 0, ибо конечные значения E при условии (24.02) возможны только при бесконечно больших значениях rot H и Н. Из второго уравнения поля

rot E = ifeip H

и условия E = O следует, что внутри идеального проводника также Н = 0. Так как при идеальной проводимости могут существовать только поверхностные электрические токи, а поверхностных магнитных токов быть не может, то применение обычных граничных условий § 4 к поверхности идеального проводника при учете отсутствия поля внутри него приводит к граничным условиям (24.03) и (24.04).

Заметим, что известны проводники, проводимость которых можно считать бесконечной: это так называемые сверхпроводники. Однако при рассмотрении идеального проводника имеют в виду реальные проводники, например металлы, обладающие высокой, но все же конечной проводимостью. Поэтому представляет интерес выяснить, в какой мере поведение идеального проводника отображает свойства реальных проводников. Это проще всего сделать, рассмотрев какукннибудь .конкретную задачу, например задачу о падении плоской волны на плоскую поверхность проводящего тела (см. § 15 и 16).
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 182 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed